题目
6.求平面族 ^2x+2ay+2z=2a 的包络.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定平面族的方程
给定平面族的方程为 ${a}^{2}x+2ay+2z=2a$，其中 $a$ 是参数。
步骤 2：求解关于参数 $a$ 的偏导数
为了找到包络，我们需要求解关于参数 $a$ 的偏导数。设 $F(x,y,z,a)={a}^{2}x+2ay+2z-2a$，则 ${F}_{a}(x,y,z,a)=2ax+2y-2$。
步骤 3：联立方程组求解
联立 $F(x,y,z,a)=0$ 和 ${F}_{a}(x,y,z,a)=0$，得到方程组：
$\left \{ \begin{matrix} {a}^{2}x+2ay+2z-2a=0\\ 2ax+2y-2=0.\end{matrix} \right.$
从第二个方程解出 $a$，得到 $a=\dfrac {1-y}{x}$。
步骤 4：代入 $a$ 的值求解包络方程
将 $a=\dfrac {1-y}{x}$ 代入第一个方程，得到：
${\left(\dfrac {1-y}{x}\right)}^{2}x+2\left(\dfrac {1-y}{x}\right)y+2z-2\left(\dfrac {1-y}{x}\right)=0$，
化简得到 $2xz-{y}^{2}+2y-1=0$。
给定平面族的方程为 ${a}^{2}x+2ay+2z=2a$，其中 $a$ 是参数。
步骤 2：求解关于参数 $a$ 的偏导数
为了找到包络，我们需要求解关于参数 $a$ 的偏导数。设 $F(x,y,z,a)={a}^{2}x+2ay+2z-2a$，则 ${F}_{a}(x,y,z,a)=2ax+2y-2$。
步骤 3：联立方程组求解
联立 $F(x,y,z,a)=0$ 和 ${F}_{a}(x,y,z,a)=0$，得到方程组：
$\left \{ \begin{matrix} {a}^{2}x+2ay+2z-2a=0\\ 2ax+2y-2=0.\end{matrix} \right.$
从第二个方程解出 $a$，得到 $a=\dfrac {1-y}{x}$。
步骤 4：代入 $a$ 的值求解包络方程
将 $a=\dfrac {1-y}{x}$ 代入第一个方程，得到：
${\left(\dfrac {1-y}{x}\right)}^{2}x+2\left(\dfrac {1-y}{x}\right)y+2z-2\left(\dfrac {1-y}{x}\right)=0$，
化简得到 $2xz-{y}^{2}+2y-1=0$。