设 A, B, C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是(）A. 若 P(C)= 1，则 AC 与 BC 也独立.B. 若 P(C)= 1，则 A cup C 与 B 也独立.C. 若 P(C)= 0，则 A cup C 与 B 也独立.D. 若 C subset B，则 A 与 C 也独立.

考查要点：本题主要考查事件独立性的定义及性质，重点在于理解独立事件在不同条件下是否保持独立性。

解题核心思路：

1. 独立事件的定义：若事件$A$与$B$独立，则$P(AB) = P(A)P(B)$。
2. 关键操作：对每个选项，通过概率运算验证是否满足独立性条件。
3. 破题关键：
   • 选项D的反例构造：当$C \subset B$时，即使$A$与$B$独立，$A$与$C$未必独立，需举反例说明。

选项A

若$P(C) = 1$，则$AC$与$BC$独立。

• 推导：
  • $P(AC) = P(A)$（因$C$必然发生，$AC = A$），同理$P(BC) = P(B)$。
  • $P(AC \cap BC) = P(ABC) = P(AB) = P(A)P(B)$（因$A$与$B$独立）。
  • 满足$P(AC \cap BC) = P(AC)P(BC)$，故独立。

选项B

若$P(C) = 1$，则$A \cup C$与$B$独立。

• 推导：
  • $A \cup C$必然发生，概率为$1$，故$P((A \cup C)B) = P(B)$。
  • $P(A \cup C)P(B) = 1 \cdot P(B) = P(B)$，满足独立条件。

选项C

若$P(C) = 0$，则$A \cup C$与$B$独立。

• 推导：
  • $C$不可能发生，故$A \cup C = A$，概率为$P(A)$。
  • $P((A \cup C)B) = P(AB) = P(A)P(B)$（因$A$与$B$独立）。
  • $P(A \cup C)P(B) = P(A)P(B)$，满足独立条件。

选项D

若$C \subset B$，则$A$与$C$独立。

• 反例：
  • 设样本空间$\{1,2,3,4\}$，每个结果概率为$\frac{1}{4}$。
  • $B = \{1,2\}$，$C = \{1\}$（$C \subset B$），$A = \{1,3\}$。
  • 验证$A$与$B$独立：$P(A) = \frac{1}{2}$，$P(B) = \frac{1}{2}$，$P(AB) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$。
  • 但$A$与$C$不独立：$P(AC) = \frac{1}{4}$，$P(A)P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{4}$。
  • 结论：$A$与$C$不独立，故选项D错误。