若 n 阶方阵 A 的任一行元素之和都等于 a，则 A 应有一特征值为( )A. aB. -aC. 1D. 0

我们来一步一步分析这道题目。

题目：

若 $ n $ 阶方阵 $ A $ 的任一行元素之和都等于 $ a $，则 $ A $ 应有一个特征值为（ ）

选项：
A. $ a $
B. $-a$
C. 1
D. 0

第一步：理解题意

我们有一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，它的每一行的元素之和都是 $ a $。

也就是说，对于第 $ i $ 行，有：
$\sum_{j=1}^n a_{ij} = a \quad \text{对所有 } i = 1, 2, \dots, n$

我们要根据这个条件，判断 $ A $ 的一个特征值是什么。

第二步：特征值的定义

一个数 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，意味着存在非零向量 $ \mathbf{x} $，使得：
$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$

我们要找的是一个必然存在的特征值，基于“每行元素之和为 $ a $”这个条件。

第三步：构造一个合适的向量来测试

考虑一个特殊的向量：所有分量都是 1 的向量，记作：
$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$

我们来计算 $ A\mathbf{v} $。

矩阵乘法 $ A\mathbf{v} $ 的第 $ i $ 个分量是 $ A $ 的第 $ i $ 行与 $ \mathbf{v} $ 的点积，即：
$(A\mathbf{v})_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot 1 = \sum_{j=1}^n a_{ij} = a$

所以，每一行的和都是 $ a $，意味着：
$A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} a \\ a \\ \vdots \\ a \end{bmatrix} = a \mathbf{v}$

因为 $ \mathbf{v} $ 是全 1 向量，所以右边就是 $ a \cdot \mathbf{v} $。

第四步：得出特征值

我们得到了：
$A\mathbf{v} = a\mathbf{v}$

而 $ \mathbf{v} \ne \mathbf{0} $，所以根据特征值的定义，$ a $ 是矩阵 $ A $ 的一个特征值，对应的特征向量是全 1 向量。

第五步：结论

因此，矩阵 $ A $ 必有一个特征值为 $ a $。

正确答案是：

$\boxed{\text{A. } a}$