题目
一-|||-4.设函数 f(x)= ) (e)^(x^2)+1,xlt 0 2,x=0, sin x+k,xgt 0 . x=0 处极限存在,求k的值.-|||-解:
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算左极限
由于函数在 $x < 0$ 时的表达式为 ${e}^{{x}^{2}} + 1$，我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0$ 的左侧时，函数的极限值。即计算 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)$。
$$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x) = \lim _{x\rightarrow {0}^{-}}({e}^{{x}^{2}} + 1) = {e}^{0} + 1 = 2$$
步骤 2：计算右极限
由于函数在 $x > 0$ 时的表达式为 $\sin x + k$，我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0$ 的右侧时，函数的极限值。即计算 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)$。
$$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x) = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}(\sin x + k) = \sin 0 + k = k$$
步骤 3：确定极限存在条件
函数在 $x=0$ 处的极限存在，意味着左极限和右极限相等。即：
$$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x) = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)$$
根据步骤 1 和步骤 2 的计算结果，我们有：
$$2 = k$$
由于函数在 $x < 0$ 时的表达式为 ${e}^{{x}^{2}} + 1$，我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0$ 的左侧时，函数的极限值。即计算 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)$。
$$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x) = \lim _{x\rightarrow {0}^{-}}({e}^{{x}^{2}} + 1) = {e}^{0} + 1 = 2$$
步骤 2：计算右极限
由于函数在 $x > 0$ 时的表达式为 $\sin x + k$，我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0$ 的右侧时，函数的极限值。即计算 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)$。
$$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x) = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}(\sin x + k) = \sin 0 + k = k$$
步骤 3：确定极限存在条件
函数在 $x=0$ 处的极限存在，意味着左极限和右极限相等。即：
$$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x) = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)$$
根据步骤 1 和步骤 2 的计算结果，我们有：
$$2 = k$$