题目
设函数f(x)在[0,1]二阶可导，'(0)=2 (1)=1, (dfrac (1)(2))=0，证明至少存在一点'(0)=2 (1)=1, (dfrac (1)(2))=0，使得'(0)=2 (1)=1, (dfrac (1)(2))=0
设函数f(x)在[0,1]二阶可导，
，证明至少存在一点
，使得
题目解答
答案
因为
，由拉格朗日定理得存在一点
，使得
，即
，又因为
，由罗尔定理得存在一点，使得。
解析
步骤 1：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点$\alpha \in (a, b)$，使得$f'(α) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。这里，我们考虑区间$[\frac{1}{2}, 1]$，有$f(1) = 1$，$f(\frac{1}{2}) = 0$，因此存在$\alpha \in (\frac{1}{2}, 1)$，使得$f'(α) = \frac{f(1) - f(\frac{1}{2})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - 0}{\frac{1}{2}} = 2$。
步骤 2：应用罗尔定理
罗尔定理指出，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则至少存在一点$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。然而，这里我们应用罗尔定理的变体，即如果f'(a) = f'(b)，则至少存在一点$\xi \in (a, b)$，使得$f''(\xi) = 0$。由于我们已知$f'(0) = 2$，且在步骤1中证明了存在$\alpha \in (\frac{1}{2}, 1)$，使得$f'(α) = 2$，因此根据罗尔定理，至少存在一点$\xi \in (0, 1)$，使得$f''(\xi) = 0$。
根据拉格朗日中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点$\alpha \in (a, b)$，使得$f'(α) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。这里，我们考虑区间$[\frac{1}{2}, 1]$，有$f(1) = 1$，$f(\frac{1}{2}) = 0$，因此存在$\alpha \in (\frac{1}{2}, 1)$，使得$f'(α) = \frac{f(1) - f(\frac{1}{2})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - 0}{\frac{1}{2}} = 2$。
步骤 2：应用罗尔定理
罗尔定理指出，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则至少存在一点$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。然而，这里我们应用罗尔定理的变体，即如果f'(a) = f'(b)，则至少存在一点$\xi \in (a, b)$，使得$f''(\xi) = 0$。由于我们已知$f'(0) = 2$，且在步骤1中证明了存在$\alpha \in (\frac{1}{2}, 1)$，使得$f'(α) = 2$，因此根据罗尔定理，至少存在一点$\xi \in (0, 1)$，使得$f''(\xi) = 0$。