题目

3.计算lim_(xto-8)(sqrt(1-x)-3)/(2+sqrt[3](x)).

3.计算$\lim_{x\to-8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}.$

题目解答

答案

将原式分子分母同乘以 $\sqrt{1-x} + 3$ 和 $4 - 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2}$，得
$\lim_{x \to -8} \frac{(\sqrt{1-x} - 3)(\sqrt{1-x} + 3)(4 - 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})}{(2 + \sqrt[3]{x})(4 - 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})(\sqrt{1-x} + 3)}.$
化简分子为 $-(x + 8)$，分母为 $(x + 8)(\sqrt{1-x} + 3)$，消去 $x + 8$ 后得
$\lim_{x \to -8} \frac{-(4 - 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})}{\sqrt{1-x} + 3}.$
代入 $x = -8$，得
$\frac{-(4 - 2(-2) + 4)}{3 + 3} = \frac{-(4 + 4 + 4)}{6} = -2.$
或者使用洛必达法则，对分子分母求导得
$\lim_{x \to -8} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}} = \frac{-\frac{1}{6}}{\frac{1}{12}} = -2.$
答案： $-2$。

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理0/0型不定式的技巧，包括有理化法和洛必达法则的应用。

解题核心思路：

  1. 识别不定式类型：当$x \to -8$时，分子$\sqrt{1-x}-3 \to 0$，分母$2+\sqrt[3]{x} \to 0$，属于0/0型不定式。
  2. 选择解法：可通过分子分母同时有理化消去零因子，或利用洛必达法则对分子分母分别求导后化简。

破题关键点：

  • 有理化法：对分子和分母分别构造共轭因子，利用平方差和立方和公式展开，消去零因子$x+8$。
  • 洛必达法则：对分子分母求导后，直接代入$x=-8$计算。

方法一：有理化法

  1. 分子有理化：
    分子$\sqrt{1-x}-3$乘以共轭$\sqrt{1-x}+3$，得：
    $(\sqrt{1-x}-3)(\sqrt{1-x}+3) = (1-x) - 9 = -x - 8.$

  2. 分母有理化：
    分母$2+\sqrt[3]{x}$乘以$\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4$，利用立方和公式：
    $(2+\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4) = x + 8.$

  3. 化简并约分：
    原式变为：
    $\frac{(-x-8)(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)}{(x+8)(\sqrt{1-x}+3)}.$
    约去$x+8$后，得：
    $\frac{-(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)}{\sqrt{1-x}+3}.$

  4. 代入$x=-8$：
    $\sqrt[3]{-8} = -2$，$\sqrt{1-(-8)} = 3$，代入得：
    $\frac{-(4 - 2(-2) + 4)}{3 + 3} = \frac{-12}{6} = -2.$

方法二：洛必达法则

  1. 求导分子：
    $\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x}-3) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.$

  2. 求导分母：
    $\frac{d}{dx}(2+\sqrt[3]{x}) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$

  3. 计算导数比值：
    $\lim_{x \to -8} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}} = \frac{-\frac{1}{6}}{\frac{1}{12}} = -2.$