1 a 0 07 1-|||-0 1 a 0 -1-|||-设 A= 0 0 1 a-|||-beta = 0-|||-a 0 0 1 0-|||-(1)计算行列式{A A|;-|||-(2)当实数a为何值时,方程组 =beta 有无穷多解,并求其通解.

步骤 1：计算行列式|A|
首先，我们计算矩阵A的行列式。矩阵A是一个4x4的矩阵，其形式为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & a & 0 & 0 \\
0 & 1 & a & 0 \\
0 & 0 & 1 & a \\
a & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
行列式|A|可以通过拉普拉斯展开计算。由于矩阵A的特殊结构，我们可以直接计算其行列式。行列式|A|等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积，即：
$$
|A| = (1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot a \cdot a \cdot a) = 1 - a^4
$$
步骤 2：确定方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解的条件
方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解的条件是矩阵A的行列式为0，即：
$$
|A| = 1 - a^4 = 0
$$
解这个方程，得到：
$$
a^4 = 1
$$
因此，$a = \pm 1$。
步骤 3：求解方程组 $AX=\beta$ 的通解
当 $a = -1$ 时，矩阵A变为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
此时，方程组 $AX=\beta$ 变为：
$$
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
$$
通过高斯消元法，可以求得方程组的通解。首先，将矩阵A和向量$\beta$合并成增广矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
进行高斯消元，得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
从这个增广矩阵中，我们可以得到方程组的通解。令 $x_4 = c$，则有：
$$
x_3 = c, \quad x_2 = c, \quad x_1 = c - 1
$$
因此，方程组的通解为：
$$
X = c \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
$$