单选题（共20题，100.0分） 题型说明：每题5分 18. (5.0分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=}e^-x-y,x>0,y>0,0,其他

考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度求解及概率计算，涉及联合概率密度函数的积分和指数分布的性质。

解题核心思路：

1. 确定X的边缘概率密度函数：通过对联合概率密度函数在y方向上积分，得到X的边缘密度。
2. 计算概率P(X<1)：对X的边缘密度在区间[0,1]上积分，或直接对联合密度进行双重积分。

破题关键点：

• 识别联合密度的结构：题目中$f(x,y)=e^{-x-y}$在x>0,y>0时非零，说明X和Y独立且均服从参数为1的指数分布。
• 利用独立性简化计算：若X和Y独立，X的边缘密度即为其自身的指数分布密度，可直接计算概率。

步骤1：求X的边缘概率密度函数
对联合密度函数在y方向积分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \begin{cases} \int_{0}^{\infty} e^{-x-y} \, dy, & x > 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
计算积分：
$\int_{0}^{\infty} e^{-y} \, dy = 1 \quad \Rightarrow \quad f_X(x) = e^{-x}, \quad x > 0.$

步骤2：计算P(X<1)
对X的边缘密度在[0,1]积分：
$P(X < 1) = \int_{0}^{1} e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} = 1 - e^{-1}.$

验证方法：直接对联合密度积分
$P(X < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{\infty} e^{-x-y} \, dy \, dx = \int_{0}^{1} e^{-x} \, dx = 1 - e^{-1}.$