题目
比较 I_1 = iint_(D) (x + y), dsigma 与 I_2 = iint_(D) (x + y)^2 , dsigma 的大小，其中 D: (x-2)^2 + (y-1)^2 leq 2，则(）.A. I_1 = I_2B. I_1 > I_2C. I_1 leq I_2D. 无法比较
比较 $I_1 = \iint_{D} (x + y)\, d\sigma$ 与 $I_2 = \iint_{D} (x + y)^2 \, d\sigma$ 的大小，其中 $D: (x-2)^2 + (y-1)^2 \leq 2$，则(）.
A. $I_1 = I_2$
B. $I_1 > I_2$
C. $I_1 \leq I_2$
D. 无法比较
题目解答
答案
C. $I_1 \leq I_2$
解析
步骤 1：确定区域 $D$ 的性质
区域 $D$ 是一个圆盘，其方程为 $(x-2)^2 + (y-1)^2 \leq 2$，圆心为 $(2,1)$，半径为 $\sqrt{2}$。
步骤 2：定义 $u = x + y$
令 $u = x + y$，则在圆盘上 $u$ 的取值范围为：
- 圆心处 $u = 3$；
- 边界上 $u = 3 + 2\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$，范围为 $[1, 5]$。
步骤 3：比较 $u^2$ 和 $u$
在区间 $[1, 5]$ 内，恒有 $u^2 - u = u(u-1) \geq 0$，即 $u^2 \geq u$。
步骤 4：比较 $I_1$ 和 $I_2$
由于被积函数满足 $(x+y)^2 \geq x+y$，积分结果也满足：\[ I_2 = \iint\limits_{D} (x+y)^2 \, d\sigma \geq \iint\limits_{D} (x+y) \, d\sigma = I_1. \]
区域 $D$ 是一个圆盘，其方程为 $(x-2)^2 + (y-1)^2 \leq 2$，圆心为 $(2,1)$，半径为 $\sqrt{2}$。
步骤 2：定义 $u = x + y$
令 $u = x + y$，则在圆盘上 $u$ 的取值范围为：
- 圆心处 $u = 3$；
- 边界上 $u = 3 + 2\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$，范围为 $[1, 5]$。
步骤 3：比较 $u^2$ 和 $u$
在区间 $[1, 5]$ 内，恒有 $u^2 - u = u(u-1) \geq 0$，即 $u^2 \geq u$。
步骤 4：比较 $I_1$ 和 $I_2$
由于被积函数满足 $(x+y)^2 \geq x+y$，积分结果也满足：\[ I_2 = \iint\limits_{D} (x+y)^2 \, d\sigma \geq \iint\limits_{D} (x+y) \, d\sigma = I_1. \]