二、计算题（每题40分，共1道小题，总分值40分）1.设曲线C的极坐标方程为r=asin^3(theta)/(3)，求曲线C的全长.

本题考查极坐标坐标下曲线弧长的计算。解题思路如下：

1. 首先，根据极坐标下曲线弧长公式$1)，需要先求出曲线\(C$的导数$\frac{dr}{d\theta}$。
2. 然后，将$r$和$\frac{dr}{d\theta}$代入弧长公式，化简被积函数。
3. 最后，确定积分区间，计算定积分得到曲线$C$的全长。

下面进行详细的解答：

1. 求$\frac{dr}{d\theta}$的计算：
   已知曲线$C$的极坐标方程为$r = a\sin^{3}\frac{\theta}{3}$，对$r$关于$\theta$求导，根据复合函数求导法则$(u^n)^\prime = nu^{n - 1}u^\prime$，令$u=\sin\frac{\frac{\theta}{3}}$，则$r = au^3$。
   先对$au^3$关于$2)\(u$求导得$3au^2$，再对$u=\sin{\frac{\theta}{3}}$关于$\theta$求导得$\frac{1}{3}\cos{\frac{\theta}{3}}$。
   根据复合求导的链式法则$\frac{dr}{d\theta}=\frac{dr}{du}\cdot\frac{du}{d\theta}$，可得：
   $\frac{dr}{d\theta}=3a\sin^{2}\frac{\theta}{3}\cdot\frac{1}{3}\cos\frac{\theta}{3}=a\sin^{2}\frac{\theta}{3}\cos\frac{\theta}{3}$
2. 弧长公式的应用：
   极坐标下曲线弧长公式为$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$，其中$\alpha$和$\beta$是$\theta$的积分区间。
   由于$\sin \frac{\theta}{3}$的周期为$T=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$，但曲线完成一个完整图形的范围为$3)\(0 \leq \theta \leq 3\pi$，所以$\alpha = 0$，$\beta = 3\pi$。
   将$r = a\sin^{3}\frac{\theta}{3}$和$\frac{dr}{d\theta}= a\sin^{2}\frac{\theta}{3}\cos\frac{\theta}{3}$代入弧长公式可得：
   $\begin{align*}s&=\int_{0}^{3\pi} \sqrt{(a\sin^{3}\frac{\theta}{3})^2 + (a\sin^{2}\frac{\theta}{3}\cos\frac{\theta}{3})^2} \, d\theta\\&=\int_{0}^{3\pi} \sqrt{a^2\sin^{6}\frac{\theta}{3}+a^2\sin^{4}\frac{\theta}{3}}\cos^{2}\frac{\theta}{3}} \, d\theta\\=\int_{0}^{3\pi} \sqrt{a^2\sin^{4}\frac{\theta}{3}(\sin^{2}\frac{\theta}{3}+\cos^{2}\frac{\theta}{3})} \, d\theta\end{align*}$
   根据三角函数的平方关系$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$，上式可化简为：
   $s=\int_{0}^{3\pi} \sqrt{a^2\sin^{4}\frac{\theta}{3}} \, d\theta=\int_{0}^{3\pi} |a\sin^{2}\frac{\theta{3}| \, d\theta$
   因为在$0 \leq \theta \leq 3\pi$上，$\sin\frac{\theta}{3}\geq0$，所以$s = \int_{0}^{3\pi} a\sin^{2}\frac{\frac{\theta}{3}\} \, d\theta$。
3. 定积分的计算：
   使用三角函数的降幂公式$\sin^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，令$x = \frac{\theta{3}$，则$\sin^{2}\frac{\theta}{3} = \frac{1 - \cos \frac{2\theta{3}}{2}$。
   所以$s = a\int_{0}^{3\pi} \frac{1 - \cos \frac{frac{2\theta}{3}\}}{2} \, d\theta=\frac{a}{2} \int_{0}^{3\pi} (1 - \cos \frac{2\theta}{3} \, d\theta$。
   根据定积分的运算法则$\int_{0}^{3\pi}(f(x)-g(x))dx=\int_{0}^{3\pi}f(x)dx-\int_{0}^{3\pi}g(x)dx$可得：
   $s=\frac{a}{2} \left(\int_{0}^{3\pi} 1 \, d\theta - \int_{0}^{3\pi} \cos \frac{2\theta}{3} \, d\theta\right)$
   对于$\int_{0}^{3\pi} 1 \, d\theta$，根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}1dx=b - a$，可得$\int_{0}^{3\pi} 1 \, d\theta=3\pi - 0 = 3\pi$。
   对于$\int_{0}^{3\pi} \cos \frac{2\theta}{3} \, d\theta$，令$u=\frac{2\theta}{3}$，则$du=\frac{2}{3}d\theta}$，当$\theta = 0$时，$u = 0$；当$\theta = 3\pi$时，$u = 2\pi$。
   $\int_{0}^{3\pi} \cos \frac{2\theta}{3} \, d\theta=\frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi} \cos u \, du=\frac{frac{3}{2}[\sin u]_{0}^{2\pi}=\frac{3}{2}(\sin 2\pi - \sin 0)=0$。
   所以$s=\frac{a}{2}(3\pi - 0)=\frac{3\pi a}{2}$。