2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a，所对的圆心角为2θ.并证半圆片的质心离圆心的距离为(4)/(3)(a)/(pi).
题目解答
答案
取对称轴为 $x$-轴，质心 $y_c = 0$。
计算 $x_c$：
$x_c = \frac{\iint_R x \, dA}{A} = \frac{\int_{-\theta}^{\theta} \int_{0}^{a} r^2 \cos \phi \, dr \, d\phi}{a^2 \theta} = \frac{\frac{a^3}{3} \int_{-\theta}^{\theta} \cos \phi \, d\phi}{a^2 \theta} = \frac{2a \sin \theta}{3\theta}.$
对于半圆片，$\theta = \frac{\pi}{2}$，代入得：
$x_c = \frac{2a \sin \frac{\pi}{2}}{3 \cdot \frac{\pi}{2}} = \frac{4a}{3\pi}.$
答案：
$\boxed{\frac{2}{3}a\frac{\sin\theta}{\theta}}$
半圆片质心离圆心的距离：
$\boxed{\frac{4a}{3\pi}}$
解析
考查要点：本题主要考查质心的计算，涉及极坐标下的二重积分应用，以及对称性简化计算的能力。
解题核心思路：
- 利用对称性确定质心坐标的位置：扇形关于对称轴（取$x$-轴）对称，因此质心的$y$坐标$y_c = 0$。
- 极坐标系积分：将扇形区域用极坐标参数化，计算$x$坐标的质心$ x_c$，需正确写出面积元素$dA = r \, dr \, d\phi$。
- 分步积分：先对半径$r$积分，再对角度$\phi$积分，最后结合扇形面积公式求解。
破题关键点：
- 对称性简化：直接得出$y_c = 0$，无需计算。
- 极坐标转换：正确表达$x = r \cos \phi$，并确定积分限$\phi \in [-\theta, \theta]$，$r \in [0, a]$。
- 半圆的特例：将$\theta = \frac{\pi}{2}$代入通式，验证结果。
质心坐标的计算
确定对称性
扇形关于$x$-轴对称，因此质心的$y$坐标为：
$y_c = 0$
计算$x_c$
质心$x$坐标公式为：
$x_c = \frac{\iint_R x \, dA}{A}$
其中，$A$为扇形面积，$dA = r \, dr \, d\phi$，$x = r \cos \phi$。
分子积分
$\begin{aligned}\iint_R x \, dA &= \int_{-\theta}^{\theta} \int_{0}^{a} r \cos \phi \cdot r \, dr \, d\phi \\&= \int_{-\theta}^{\theta} \cos \phi \, d\phi \int_{0}^{a} r^2 \, dr \\&= \left[ \sin \phi \right]_{-\theta}^{\theta} \cdot \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{a} \\&= ( \sin \theta - (-\sin \theta) ) \cdot \frac{a^3}{3} \\&= \frac{2a^3}{3} \sin \theta\end{aligned}$
分母面积
扇形面积：
$A = \frac{1}{2} \cdot \text{圆心角} \cdot \text{半径}^2 = \frac{1}{2} \cdot 2\theta \cdot a^2 = a^2 \theta$
求$x_c$
$x_c = \frac{\frac{2a^3}{3} \sin \theta}{a^2 \theta} = \frac{2a \sin \theta}{3\theta}$
半圆片的特例
当扇形为半圆时，圆心角$2\theta = \pi$，即$\theta = \frac{\pi}{2}$，代入得：
$x_c = \frac{2a \sin \frac{\pi}{2}}{3 \cdot \frac{\pi}{2}} = \frac{2a \cdot 1}{\frac{3\pi}{2}} = \frac{4a}{3\pi}$