题目
A B-|||-h如图所示，质量为m的小球A沿高度为h、倾角为θ的光滑斜面由静止滑下，另一质量与A相同的小球B自相同高度同时由静止落下。下列说法正确的是（ ）A. 落地前瞬间A球与B球速度相同B. 两球重力的平均功率相等C. 落地前的瞬间A球与B球的重力瞬时功率相同D. 落地前的瞬间A球的重力瞬时功率比B球的瞬时功率小
如图所示，质量为m的小球A沿高度为h、倾角为θ的光滑斜面由静止滑下，另一质量与A相同的小球B自相同高度同时由静止落下。下列说法正确的是（ ）- A. 落地前瞬间A球与B球速度相同
- B. 两球重力的平均功率相等
- C. 落地前的瞬间A球与B球的重力瞬时功率相同
- D. 落地前的瞬间A球的重力瞬时功率比B球的瞬时功率小
题目解答
答案
D. 落地前的瞬间A球的重力瞬时功率比B球的瞬时功率小
解析
步骤 1：分析小球A沿斜面下滑的运动
小球A沿斜面下滑时，受到重力和斜面支持力的作用。重力沿斜面方向的分量为$mg\sin\theta$，支持力垂直于斜面，不改变小球的速度。因此，小球A沿斜面方向的加速度为$a_A = g\sin\theta$。小球A沿斜面方向的位移为$s_A = \frac{h}{\sin\theta}$。根据运动学公式${v^2} - v_0^2 = 2ax$，可以求出小球A到达斜面底部的速度大小为${v_A} = \sqrt{2gh}$。
步骤 2：分析小球B自由落体的运动
小球B自由落体时，只受到重力的作用，加速度为$a_B = g$。小球B的位移为$s_B = h$。根据运动学公式${v^2} - v_0^2 = 2ax$，可以求出小球B落地的速度大小为${v_B} = \sqrt{2gh}$。
步骤 3：比较两球落地时的速度
由于两球的速度大小相等，但速度方向不同，一个沿斜面向下，一个竖直向下，因此选项A错误。
步骤 4：比较两球重力的平均功率
两球均做初速度为0的匀变速直线运动，运动时间$t = \frac{\Delta v}{a}$。由于两球的速度差相等，且$a_A < a_B$，可得$t_A > t_B$。根据$W = mgh$知，重力对两球做功相等，根据平均功率$\overline{P} = \frac{W}{t}$可以得出B球重力的平均功率大于A球重力的平均功率，因此选项B错误。
步骤 5：比较两球重力的瞬时功率
两球落地时速度大小相等，重力的瞬时功率等于重力乘以重力方向上的分速度，则$P_A = mgv\sin\theta$，$P_B = mgv$。因此，$P_A < P_B$，选项C错误，选项D正确。
小球A沿斜面下滑时，受到重力和斜面支持力的作用。重力沿斜面方向的分量为$mg\sin\theta$，支持力垂直于斜面，不改变小球的速度。因此，小球A沿斜面方向的加速度为$a_A = g\sin\theta$。小球A沿斜面方向的位移为$s_A = \frac{h}{\sin\theta}$。根据运动学公式${v^2} - v_0^2 = 2ax$，可以求出小球A到达斜面底部的速度大小为${v_A} = \sqrt{2gh}$。
步骤 2：分析小球B自由落体的运动
小球B自由落体时，只受到重力的作用，加速度为$a_B = g$。小球B的位移为$s_B = h$。根据运动学公式${v^2} - v_0^2 = 2ax$，可以求出小球B落地的速度大小为${v_B} = \sqrt{2gh}$。
步骤 3：比较两球落地时的速度
由于两球的速度大小相等，但速度方向不同，一个沿斜面向下，一个竖直向下，因此选项A错误。
步骤 4：比较两球重力的平均功率
两球均做初速度为0的匀变速直线运动，运动时间$t = \frac{\Delta v}{a}$。由于两球的速度差相等，且$a_A < a_B$，可得$t_A > t_B$。根据$W = mgh$知，重力对两球做功相等，根据平均功率$\overline{P} = \frac{W}{t}$可以得出B球重力的平均功率大于A球重力的平均功率，因此选项B错误。
步骤 5：比较两球重力的瞬时功率
两球落地时速度大小相等，重力的瞬时功率等于重力乘以重力方向上的分速度，则$P_A = mgv\sin\theta$，$P_B = mgv$。因此，$P_A < P_B$，选项C错误，选项D正确。