6.5 一水平弹簧振子,振幅 =2.0times (10)^-2m, 周期 =0.50s 当 t=0 时,-|||-(1)振子过 =1.0times (10)^-2m 处,向负方向运动;-|||-(2)振子过 =-1.0times (10)^-2m 处,向正方向运动。-|||-分别写出以上两种情况下的振动表达式。

考查要点：本题主要考查简谐振动的表达式及其初相位的确定，需要结合初始条件（位置和速度方向）来确定相位角。

解题核心思路：

1. 确定角频率：利用周期公式 $\omega = \frac{2\pi}{T}$ 计算角频率。
2. 振动表达式形式：一般形式为 $x = A\cos(\omega t + \phi)$，需代入初始条件求初相位 $\phi$。
3. 初相位确定：
   • 通过初始位置 $x(0)$ 求 $\cos\phi$；
   • 通过速度方向判断 $\sin\phi$ 的符号，最终确定 $\phi$ 的具体值。

破题关键点：

• 速度方向与相位关系：速度 $v = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$，初始时刻速度方向决定 $\sin\phi$ 的符号。
• 角度象限分析：结合 $\cos\phi$ 和 $\sin\phi$ 的符号确定 $\phi$ 所在象限。

第（1）题

已知：$t=0$ 时，$x=1.0 \times 10^{-2} \, \text{m}$，向负方向运动。

计算角频率

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.50} = 4\pi \, \text{rad/s}$

代入初始位置求 $\cos\phi$

$x(0) = A\cos\phi \implies 1.0 \times 10^{-2} = 2.0 \times 10^{-2} \cdot \cos\phi \implies \cos\phi = 0.5$

确定 $\phi$ 的象限

• $\cos\phi = 0.5$ 对应 $\phi = \frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{5\pi}{3}$。
• 速度方向为负：$v(0) = -A\omega \sin\phi < 0 \implies \sin\phi > 0$，故 $\phi$ 在第一象限，取 $\phi = \frac{\pi}{3}$。

振动表达式：
$x = 0.02\cos(4\pi t + \frac{\pi}{3})$

第（2）题

已知：$t=0$ 时，$x=-1.0 \times 10^{-2} \, \text{m}$，向正方向运动。

代入初始位置求 $\cos\phi$

$x(0) = A\cos\phi \implies -1.0 \times 10^{-2} = 2.0 \times 10^{-2} \cdot \cos\phi \implies \cos\phi = -0.5$

确定 $\phi$ 的象限

• $\cos\phi = -0.5$ 对应 $\phi = \frac{2\pi}{3}$ 或 $\frac{4\pi}{3}$。
• 速度方向为正：$v(0) = -A\omega \sin\phi > 0 \implies \sin\phi < 0$，故 $\phi$ 在第三象限，取 $\phi = \frac{4\pi}{3}$。
• 等效角度表示：$\frac{4\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$（周期性），因此表达式可简化为 $\phi = -\frac{2\pi}{3}$。

振动表达式：
$x = 0.02\cos(4\pi t - \frac{2\pi}{3})$