题目
10【单选题】11.iintlimits_(Sigma)4zxdydz-2zydzdx+(1-z^2)dxdy，Sigma是z=x^2+y^2介于0≤z≤1之间部分之下侧.A 1B 2C (1)/(2)D 0
10【单选题】
11.$\iint\limits_{\Sigma}4zxdydz-2zydzdx+(1-z^{2})dxdy$，$\Sigma$是$z=x^{2}+y^{2}$介于0≤z≤1之间部分之下侧.
A 1
B 2
C $\frac{1}{2}$
D 0
题目解答
答案
将曲面积分转换为三重积分，利用高斯公式。
设 $P = 4zx$，$Q = -2zy$，$R = 1 - z^2$，则
\[
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 4z - 2z - 2z = 0.
\]
由高斯公式，闭合曲面上的积分为 0。添加平面 $z = 1$（上侧）后，
\[
\iint_{z=1} (1 - z^2) \, dx \, dy = 0,
\]
因此原曲面积分值为 0。
答案：$\boxed{D}$
解析
步骤 1：定义向量场
定义向量场 $\vec{F} = (4zx, -2zy, 1 - z^2)$，其中 $P = 4zx$，$Q = -2zy$，$R = 1 - z^2$。
步骤 2：计算散度
计算向量场 $\vec{F}$ 的散度： \[ \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 4z - 2z - 2z = 0. \]
步骤 3：应用高斯公式
由于 $\nabla \cdot \vec{F} = 0$，根据高斯公式，闭合曲面上的积分为 0。添加平面 $z = 1$（上侧）后， \[ \iint_{z=1} (1 - z^2) \, dx \, dy = 0, \] 因此原曲面积分值为 0。
定义向量场 $\vec{F} = (4zx, -2zy, 1 - z^2)$，其中 $P = 4zx$，$Q = -2zy$，$R = 1 - z^2$。
步骤 2：计算散度
计算向量场 $\vec{F}$ 的散度： \[ \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 4z - 2z - 2z = 0. \]
步骤 3：应用高斯公式
由于 $\nabla \cdot \vec{F} = 0$，根据高斯公式，闭合曲面上的积分为 0。添加平面 $z = 1$（上侧）后， \[ \iint_{z=1} (1 - z^2) \, dx \, dy = 0, \] 因此原曲面积分值为 0。