114.设曲线y=x^2与y=4所围成的图形的面积为S，则下列各式中，错误的是（）A. S=2int_(0)^2(4-x^2)dx.B. S=2int_(0)^4sqrt(y)dy.C. S=2int_(0)^2(4-x^2)dy.D. S=2int_(0)^4sqrt(x)dx.

本题考查利用定积分求平面图形的面积，解题的关键在于根据积分变量的不同，正确确定积分区间和被积函数。

步骤一：确定曲线$y = x^2$与$y = 4$的交点

联立方程$\begin{cases}y = x^2\\y = 4\end{cases}$，将$y = 4$代入$y = x^2$，可得$x^2 = 4$，解得$x = \pm 2$。

步骤二：分析以$x$为积分变量的情况

当以$x$为积分变量时，积分区间为$[-2, 2]$。在这个区间上，$4\geq x^2$，根据定积分求面积公式$S=\int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]dx$（其中$f(x)$为上方曲线，$g(x)$为下方曲线），可得$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)dx$。
由于被积函数$4 - x^2$是偶函数，根据偶函数在对称区间上的积分性质$\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$，则$S = 2\int_{0}^{2} (4 - x^2)dx$，所以选项A正确。

步骤三：分析以$y$为积分变量的情况

当以$y$为积分变量时，由$y = x^2$可得$x = \pm\sqrt{y}$，积分区间为$[0, 4]$。在这个区间上，$\sqrt{y}\geq -\sqrt{y}$，根据定积分求面积公式$S=\int_{c}^{d} [f(y)-g(y)]dy$（其中$f(y)$为右方曲线，$g(y)$为左方曲线），可得$S = \int_{0}^{4} [\sqrt{y} - (-\sqrt{y})]dy = 2\int_{0}^{4} \sqrt{y}dy$，所以选项B正确。

步骤四：分析选项C

在选项C中，积分变量为$y$，但被积函数$4 - x^2$是关于$x$的函数，不能直接对$y$进行积分，所以选项C错误。

步骤五：分析选项D

由$y = x^2$可得$x = \sqrt{y}$，交换积分变量$x$与$y$的角色，此时积分区间为$[0, 4]$，$S = 2\int_{0}^{4} \sqrt{y}dy$，若将$y$换为$x$，则$S = 2\int_{0}^{4} \sqrt{x}dx$，所以选项D正确。