题目

曲线x=sin^2 t, y=sin t cos t, z=cos^2 t在对应于t=(pi)/(4)的点处的切线方程和法平面方程分别为();A. x-(1)/(2)=y-(1)/(2)=-(z-(1)/(2)), x+y-z=(1)/(2)B. {x+z=1 y=(1)/(2), x-z=0.

曲线$x=\sin^2 t$, $y=\sin t \cos t$, $z=\cos^2 t$在对应于$t=\frac{\pi}{4}$的点处的切线方程和法平面方程分别为();

A. $x-\frac{1}{2}=y-\frac{1}{2}=-(z-\frac{1}{2})$, $x+y-z=\frac{1}{2}$

B. $\left\{\begin{array}{l}x+z=1 \\ y=\frac{1}{2}, x-z=0\end{array}\right.$

C. $x+\frac{1}{2}=y+\frac{1}{2}=-(z+\frac{1}{2})$, $x+y-z=-\frac{1}{2}$

D. $\left\{\begin{array}{l}x-z=1 \\ y=\frac{1}{2}, x+z=0\end{array}\right.$

题目解答

答案

B. $\left\{\begin{array}{l}x+z=1 \\ y=\frac{1}{2}, x-z=0\end{array}\right.$

解析

本题考查空间曲线的切线方程和法平面方程的求解，解题思路是先求出曲线在在给定参数值处的切向量，再根据切向量和该点坐标分别写出切线方程和法平面方程。

  1. 求曲线在在$t = \frac{\pi}{4}$处对应的点的坐标：
    已知曲线方程$x = \sin^2t$，$y = \sin t\cos t$，$z = \cos2t$，将$t = \frac{\pi}{4}$代入曲线方程可得：
    • $x=\sin(2\times\frac{\pi}{4})=\sin\frac{\pi}{2}=1$
    • $y = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\}^2=\frac{1}{2}$
    • $z = \cos(2\times\frac{\pi{4})=\cos\frac{\pi}{2}=0$
      所以，曲线在$t = \frac{\pi}{4}$处对应的点的坐标为$(1,\frac{1}{2},0)$。
  2. 求曲线在$t = \frac{\pi}{4}$处的切向量：
    对曲线方程分别求关于$t$的导数：
    • $x对t求导：根据复合函数求导法则\((\sin2t)^\prime = 2\cos2t$，将$x^\prime(t)=2\cos2t$。
      -y对t求导：根据乘积求导法则$(uv)^\prime = \cos^2t - \sin^2t=\cos2t$，$y^\prime(t)=\cos2t$。
      -z对t求导：根据复合函数求导法则$(\cos2t)^\prime = -2\sin2t$，$z^\prime(t)= -2\sin2t$。
      将$t = \frac{\pi}{4}$代入上述导数中，可得：
    • $x^\prime(\frac{\pi}{4}) = 2\cos(2\times\frac{\pi}{4}) = 2\cos\frac{\pi}{2}=0$
    • $y^\prime(\frac{\pi}{4}) = \cos(2\times\frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{2}=0$
    • $z^\prime(\frac{\pi}{4}) = -2\sin(2\times\frac{\pi}{4}) = -2\sin\frac{\pi}{2}=-2$
      所以，曲线在$t = \frac{\pi}{4}$处的切向量为$\vec{T}=(0,0,-2)}$，为了方便计算，可将切向量化为$\vec{T}=(0,0,1)$（因为切向量的非零倍数仍是切向量）。
  3. 求切线方程：
    根据空间曲线切线方程的公式$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为曲线上的点，$(m,n,p)$为切向量），已知点$(1,\frac{1}{2},0)$，切向量$\vec{T}=(0,0,1)$，可得切线方程为$\left\{\begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - \frac{1}{2} = 0\\z - 0 = 1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x = 1\\y = \frac{1}{2}\\z = 0\end{array}\right.$，进一步变形为$\left\{\begin{array}{l}x + z = 1\\y = \frac{1}{2}, x - z = 0\end{array}\right.$。
  4. 求法平面方程：
    根据空间曲线法平面方程的公式$m(x - x_0)+n(y - y_0)+p(z - z_0)=0$（$(x_0,y_0,z_0)$为曲线上的点，$(m,n,p)$为切向量），点$(1,\frac{1}{2},0)$，切向量$\vec{T}=(0,0,1)$，法平面方程为$0\times(x - 1)+0\times(y - \frac{1}{2})+1\times(z - 0)=0$，即$z = 0$，结合$x + z = 1\\)和\(y = \frac{1}{2}$，法平面方程可表示为$\left\{\begin{array}{l}x + z = 1\\y = \frac{1}{2}, x - z = 0\end{array}\right.$。