已知z= ( sqrt 2)div 2(1-i),则z^100+z^50+1的值为()A. 1B. -1C. iD. -i

考查要点：本题主要考查复数的极坐标形式、棣莫弗定理的应用，以及复数幂运算的周期性规律。

解题核心思路：

1. 将复数转换为极坐标形式，利用模和辐角简化幂运算。
2. 利用棣莫弗定理计算高次幂，注意角度的周期性简化。
3. 代数运算将各次幂结果相加，最终化简得到答案。

破题关键点：

• 确定复数的模和辐角：通过观察复数形式，快速得出模为1，辐角为$-\frac{\pi}{4}$。
• 角度周期性简化：利用角度$2\pi$的周期性，将大角度转化为$[0, 2\pi)$内的等效角度。
• 幂运算的快速计算：通过指数形式或三角形式直接计算高次幂。

步骤1：将复数$z$转换为极坐标形式
已知$z = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - i)$，计算其模和辐角：

• 模：$|z| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$。
• 辐角：$\theta = \arctan\left(\frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$。
  因此，$z$的极坐标形式为：
  $z = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = e^{-i\frac{\pi}{4}}.$

步骤2：计算$z^{100}$
根据棣莫弗定理：
$z^{100} = \cos\left(-100 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-100 \cdot \frac{\pi}{4}\right).$
简化角度：
$-100 \cdot \frac{\pi}{4} = -25\pi = -25\pi + 13 \cdot 2\pi = \pi \quad (\text{等效角度}).$
因此：
$z^{100} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0i = -1.$

步骤3：计算$z^{50}$
同理：
$z^{50} = \cos\left(-50 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-50 \cdot \frac{\pi}{4}\right).$
简化角度：
$-50 \cdot \frac{\pi}{4} = -12.5\pi = -12.5\pi + 7 \cdot 2\pi = 1.5\pi = \frac{3\pi}{2}.$
因此：
$z^{50} = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = 0 - i = -i.$

步骤4：求和
将各结果相加：
$z^{100} + z^{50} + 1 = (-1) + (-i) + 1 = 0 - i = -i.$