求函数f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2的极值

本题考查二元函数极值的求解，解题思路如下：

1. 首先，根据求偏导数的规则，分别对函数$f(x,y)$关于$x$和$y$求偏导数。
   • 对于函数$f(x,y)=4(x - y)-x^{2}-y^{2}=4x-4y - x^{2}-y^{2}$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，对$x$求偏导数时，把$y$看作常数，则$f_{x}(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial(4x-4y - x^{2}-y^{2})}{\partial x}$。
     • 因为$\frac{\partial(4x)}{\partial x}=4$，$\frac{\partial(-4y)}{\partial x}=0$，$\frac{\partial(-x^{2})}{\partial x}=-2x$，$\frac{\partial(-y^{2})}{\partial x}=0$，所以$f_{x}(x,y)=4 - 2x$。
   • 对$y$求偏导数时，把$x$看作常数，则$f_{y}(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial(4x-4y - x^{2}-y^{2})}{\partial y}$。
     • 因为$\frac{\partial(4x)}{\partial y}=0$，$\frac{\partial(-4y)}{\partial y}=-4$，$\frac{\partial(-x^{2})}{\partial y}=0$，$\frac{\partial(-y^{2})}{\partial y}=-2y$，所以$f_{y}(x,y)=-4 - 2y$。
2. 然后，令两个偏导数都等于$0$，得到一个方程组，解这个方程组，求出可能的极值点。
   • 令$\begin{cases}f_{x}(x,y)=4 - 2x = 0\\f_{y}(x,y)=-4 - 2y = 0\end{cases}$。
   • 解第一个方程$4 - 2x = 0$，移项可得$2x = 4$，两边同时除以$2$，解得$x = 2$。
   • 解第二个方程$-4 - 2y = 0$，移项可得$2y=-4$，两边同时除以$2$，解得$y=-2$。
   • 所以，函数$f(x,y)$的驻点为$(2,-2)$。
3. 最后，将驻点$(2,-2)$代入原函数$f(x,y)$，求出该点的函数值，这个值就是函数的极值。
   • 把$x = 2$，$y=-2$代入$f(x,y)=4(x - y)-x^{2}-y^{2}$，可得$f(2,-2)=4\times(2-(-2))-2^{2}-(-2)^{2}$。
   • 先计算括号内的值：$2-(-2)=2 + 2 = 4$。
   • 再计算乘法：$4\times4 = 16$。
   • 接着计算平方：$2^{2}=4$，$(-2)^{2}=4$。
   • 最后计算$f(2,-2)=16-4 - 4=8$。