题目
设A是n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是A. 的特征值只有零.B. A必不能对角化.C. E+A+A 2 +…+A m－1 必可逆.D. A只有一个线性无关的特征向量.
设A是n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是
A. 的特征值只有零.
B. A必不能对角化.
C. E+A+A 2 +…+A m－1 必可逆.
D. A只有一个线性无关的特征向量.
题目解答
答案
D. A只有一个线性无关的特征向量.
解析
步骤 1：理解矩阵幂的性质
矩阵幂的性质告诉我们，如果一个矩阵A满足A^m = 0，那么A是一个幂零矩阵。幂零矩阵的特征值只有零，因为如果λ是A的特征值，那么λ^m是A^m的特征值，而A^m = 0，所以λ^m = 0，从而λ = 0。
步骤 2：分析选项A
选项A说A的特征值只有零，这是正确的，因为A是幂零矩阵，其特征值只能是零。
步骤 3：分析选项B
选项B说A必不能对角化。幂零矩阵不一定不能对角化，只有当A是不可对角化的幂零矩阵时，才不能对角化。例如，单位矩阵E是幂零矩阵，但它是可对角化的。
步骤 4：分析选项C
选项C说E+A+A^2+...+A^(m-1)必可逆。由于A^m = 0，我们可以利用几何级数的求和公式，得到(E+A+A^2+...+A^(m-1))(E-A) = E-A^m = E，所以E+A+A^2+...+A^(m-1)是可逆的。
步骤 5：分析选项D
选项D说A只有一个线性无关的特征向量。这不一定正确，因为幂零矩阵的特征向量的个数取决于其Jordan标准型的结构，不一定只有一个线性无关的特征向量。
矩阵幂的性质告诉我们，如果一个矩阵A满足A^m = 0，那么A是一个幂零矩阵。幂零矩阵的特征值只有零，因为如果λ是A的特征值，那么λ^m是A^m的特征值，而A^m = 0，所以λ^m = 0，从而λ = 0。
步骤 2：分析选项A
选项A说A的特征值只有零，这是正确的，因为A是幂零矩阵，其特征值只能是零。
步骤 3：分析选项B
选项B说A必不能对角化。幂零矩阵不一定不能对角化，只有当A是不可对角化的幂零矩阵时，才不能对角化。例如，单位矩阵E是幂零矩阵，但它是可对角化的。
步骤 4：分析选项C
选项C说E+A+A^2+...+A^(m-1)必可逆。由于A^m = 0，我们可以利用几何级数的求和公式，得到(E+A+A^2+...+A^(m-1))(E-A) = E-A^m = E，所以E+A+A^2+...+A^(m-1)是可逆的。
步骤 5：分析选项D
选项D说A只有一个线性无关的特征向量。这不一定正确，因为幂零矩阵的特征向量的个数取决于其Jordan标准型的结构，不一定只有一个线性无关的特征向量。