题目
一半径为R的木球静止地浮在水面上,其体积的一半恰好浸入水中.若把它刚刚-|||-按入水中后从静止状态开始放手,若不计水对球的阻力.试写出木球振动的微分方程,再说-|||-明木球在什么条件下作简谐振动.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定木球的受力情况
木球静止时，其体积的一半浸入水中，因此受到的浮力等于木球的重力。当木球被按入水中后，浮力会随着木球浸入水中的体积变化而变化，从而产生一个恢复力，使木球振动。
步骤 2：建立木球振动的微分方程
设木球的密度为$\rho$，水的密度为$\rho_{w}$，木球的质量为$m$，木球的体积为$V$，木球的半径为$R$。木球的重力为$mg$，浮力为$\rho_{w}gV_{sub}$，其中$V_{sub}$是木球浸入水中的体积。当木球被按入水中后，木球的浸入深度为$x$，则$V_{sub}=\dfrac {4}{3}\pi R^{3}-\dfrac {4}{3}\pi (R-x)^{3}$。因此，木球受到的恢复力为$F_{恢复}=\rho_{w}gV_{sub}-mg$。根据牛顿第二定律，木球的加速度$a=\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}$，因此木球的振动微分方程为$\rho_{w}gV_{sub}-mg=m\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}$。将$V_{sub}$代入，得到$\rho_{w}g(\dfrac {4}{3}\pi R^{3}-\dfrac {4}{3}\pi (R-x)^{3})-mg=m\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}$。化简得到$\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}+\dfrac {3g}{2R}x(1-\dfrac {x^{2}}{3R^{2}})=0$。
步骤 3：确定木球作简谐振动的条件
当木球的振动幅度较小时，即$x\ll R$时，可以忽略$x^{2}$项，此时木球的振动微分方程可以简化为$\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}+\dfrac {3g}{2R}x=0$，这是一个简谐振动的微分方程。因此，当$x\ll R$时，木球可以认为作简谐振动。
木球静止时，其体积的一半浸入水中，因此受到的浮力等于木球的重力。当木球被按入水中后，浮力会随着木球浸入水中的体积变化而变化，从而产生一个恢复力，使木球振动。
步骤 2：建立木球振动的微分方程
设木球的密度为$\rho$，水的密度为$\rho_{w}$，木球的质量为$m$，木球的体积为$V$，木球的半径为$R$。木球的重力为$mg$，浮力为$\rho_{w}gV_{sub}$，其中$V_{sub}$是木球浸入水中的体积。当木球被按入水中后，木球的浸入深度为$x$，则$V_{sub}=\dfrac {4}{3}\pi R^{3}-\dfrac {4}{3}\pi (R-x)^{3}$。因此，木球受到的恢复力为$F_{恢复}=\rho_{w}gV_{sub}-mg$。根据牛顿第二定律，木球的加速度$a=\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}$，因此木球的振动微分方程为$\rho_{w}gV_{sub}-mg=m\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}$。将$V_{sub}$代入，得到$\rho_{w}g(\dfrac {4}{3}\pi R^{3}-\dfrac {4}{3}\pi (R-x)^{3})-mg=m\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}$。化简得到$\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}+\dfrac {3g}{2R}x(1-\dfrac {x^{2}}{3R^{2}})=0$。
步骤 3：确定木球作简谐振动的条件
当木球的振动幅度较小时，即$x\ll R$时，可以忽略$x^{2}$项，此时木球的振动微分方程可以简化为$\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}+\dfrac {3g}{2R}x=0$，这是一个简谐振动的微分方程。因此，当$x\ll R$时，木球可以认为作简谐振动。