题目
14.设f(x)的一个原函数是lnx,则 int dfrac (f'(ln x))(x)dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定f(x)的导数
由于f(x)的一个原函数是lnx，根据原函数和导数的关系，我们有 $f(x) = \dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x}$。
步骤 2：计算f'(lnx)
根据步骤1，我们有 $f(x) = \dfrac{1}{x}$，因此 $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$。将x替换为lnx，我们得到 $f'(\ln x) = -\dfrac{1}{(\ln x)^2}$。
步骤 3：计算积分
根据步骤2，我们有 $\int \dfrac{f'(\ln x)}{x}dx = \int \dfrac{-\dfrac{1}{(\ln x)^2}}{x}dx = -\int \dfrac{1}{x(\ln x)^2}dx$。令u = ln x，则du = $\dfrac{1}{x}dx$，因此积分变为 $-\int \dfrac{1}{u^2}du = \dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{\ln x} + C$。
由于f(x)的一个原函数是lnx，根据原函数和导数的关系，我们有 $f(x) = \dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x}$。
步骤 2：计算f'(lnx)
根据步骤1，我们有 $f(x) = \dfrac{1}{x}$，因此 $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$。将x替换为lnx，我们得到 $f'(\ln x) = -\dfrac{1}{(\ln x)^2}$。
步骤 3：计算积分
根据步骤2，我们有 $\int \dfrac{f'(\ln x)}{x}dx = \int \dfrac{-\dfrac{1}{(\ln x)^2}}{x}dx = -\int \dfrac{1}{x(\ln x)^2}dx$。令u = ln x，则du = $\dfrac{1}{x}dx$，因此积分变为 $-\int \dfrac{1}{u^2}du = \dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{\ln x} + C$。