题目
19.(填空题，5分)曲面z=4-x^2-y^2与z=3x^2+3y^2所围立体的体积为____π.
19.(填空题，5分)
曲面$z=4-x^{2}-y^{2}$与$z=3x^{2}+3y^{2}$所围立体的体积为____π.
题目解答
答案
将两曲面方程设置相等，得交线方程 $ x^2 + y^2 = 1 $，即单位圆。在极坐标系中，曲面方程变为 $ z = 4 - r^2 $ 和 $ z = 3r^2 $。体积积分表达式为：
\[
V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 [(4 - r^2) - 3r^2] r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (4r - 4r^3) \, dr \, d\theta
\]
计算内积分得：
\[
\int_0^1 (4r - 4r^3) \, dr = 2 - 1 = 1
\]
再对 $ \theta $ 积分：
\[
V = \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
\]
**答案：** $\boxed{2\pi}$
解析
步骤 1：确定交线方程
将两曲面方程设置相等，得 $4 - x^2 - y^2 = 3x^2 + 3y^2$，化简得 $x^2 + y^2 = 1$，即单位圆。
步骤 2：转换到极坐标系
在极坐标系中，曲面方程变为 $z = 4 - r^2$ 和 $z = 3r^2$。其中，$r$ 是极径，$\theta$ 是极角。
步骤 3：计算体积积分
体积积分表达式为：\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 [(4 - r^2) - 3r^2] r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (4r - 4r^3) \, dr \, d\theta \] 计算内积分得：\[ \int_0^1 (4r - 4r^3) \, dr = 2 - 1 = 1 \] 再对 $\theta$ 积分：\[ V = \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi \]
将两曲面方程设置相等，得 $4 - x^2 - y^2 = 3x^2 + 3y^2$，化简得 $x^2 + y^2 = 1$，即单位圆。
步骤 2：转换到极坐标系
在极坐标系中，曲面方程变为 $z = 4 - r^2$ 和 $z = 3r^2$。其中，$r$ 是极径，$\theta$ 是极角。
步骤 3：计算体积积分
体积积分表达式为：\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 [(4 - r^2) - 3r^2] r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (4r - 4r^3) \, dr \, d\theta \] 计算内积分得：\[ \int_0^1 (4r - 4r^3) \, dr = 2 - 1 = 1 \] 再对 $\theta$ 积分：\[ V = \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi \]