题目

作函数 =dfrac (2{x)^2}({(1-x))^2} 的图形.

题目解答

答案

解析

本题考查函数图形的绘制，解题思路是先确定函数的定义域、对称性，再通过求导找出函数的驻点和可能的拐点，接着根据导数的正负判断函数的单调性和凹凸性，然后求出函数的渐近线，最后选取一些特殊点来绘制函数图形。

  1. 确定函数的定义域和对称性
    • 对于函数$y = \dfrac{2x^2}{(1 - x)^2}$，要使分母不为零，则$1 - x\neq 0$，即$x\neq 1$，所以函数的定义域为$(-\infty, 1)\cup(1, +\infty)$。
    • 由于$f(-x)=\dfrac{2(-x)^2}{(1-(-x))^2}=\dfrac{2x^2}{(1 + x)^2}\neq f(x)$且$f(-x)\neq -f(x)$，所以函数无对称性。
  2. 求函数的一阶导数和二阶导数
    • 根据除法求导公式$(\dfrac{u}{v})^\prime=\dfrac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，对$y = \dfrac{2x^2}{(1 - x)^2}$求导，其中$u = 2x^2$，$u^\prime = 4x$；$v = (1 - x)^2$，$v^\prime = -2(1 - x)$。
      则$y^\prime=\dfrac{4x(1 - x)^2 - 2x^2\times(-2(1 - x))}{(1 - x)^4}=\dfrac{4x(1 - x)+4x^2}{(1 - x)^3}=\dfrac{4x - 4x^2 + 4x^2}{(1 - x)^3}=\dfrac{4x}{(1 - x)^3}$。
    • 对$y^\prime=\dfrac{4x}{(1 - x)^3}$再次求导，同样根据除法求导公式，$u = 4x$，$u^\prime = 4$；$v = (1 - x)^3$，$v^\prime = -3(1 - x)^2$。
      则$y^{\prime\prime}=\dfrac{4(1 - x)^3 - 4x\times(-3(1 - x)^2)}{(1 - x)^6}=\dfrac{4(1 - x)+12x}{(1 - x)^4}=\dfrac{4 - 4x + 12x}{(1 - x)^4}=\dfrac{8x + 4}{(1 - x)^4}$。
  3. 求驻点和可能的拐点
    • 令$y^\prime = 0$，即$\dfrac{4x}{(1 - x)^3}=0$，因为分母不能为零，所以$4x = 0$，解得驻点$x_1 = 0$。
    • 令$y^{\prime\prime} = 0$，即$\dfrac{8x + 4}{(1 - x)^4}=0$，因为分母不能为零，所以$8x + 4 = 0$，解得$x = -\dfrac{1}{2}$。
  4. 列表分析函数的单调性和凹凸性
    $x$ $(-\infty, -\dfrac{1}{2})$ $-\dfrac{1}{2}$ $(-\dfrac{1}{2}, 0)$ $0$ $(0, 1)$ $(1, +\infty)$
    $y^\prime$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$ $+$
    $y^{\prime\prime}$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$ $+$
    $y$ $\cap$ 拐点$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{9})$ $\cup$ 极小值$f(0)=0$ $\cup$ $\cup$
    • 当$y^\prime\lt 0$时，函数单调递减；当$y^\prime\gt 0$时，函数单调递增。所以函数在$(-\infty, 0)$和$(1, +\infty)$上单调递减，在$(0, 1)$上单调递增，$x = 0$为极小值点，极小值为$f(0)=\dfrac{2\times0^2}{(1 - 0)^2}=0$。
    • 当$y^{\prime\prime}\lt 0$时，函数图像是凸的（$\cap$）；当$y^{\prime\prime}\gt 0$时，函数图像是凹的（$\cup$）。所以$x = -\dfrac{1}{2}$为拐点，将$x = -\dfrac{1}{2}$代入函数可得$f(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{2\times(-\dfrac{1}{2})^2}{(1 - (-\dfrac{1}{2}))^2}=\dfrac{2\times\dfrac{1}{4}}{(\dfrac{3}{2})^2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{2}{9}$，即拐点为$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{9})$。
  5. 求函数的渐近线
    • 水平渐近线：计算$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^2}{(1 - x)^2}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^2}{x^2 - 2x + 1}$，分子分母同时除以$x^2$得$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}} = 2$，所以有水平渐近线$y = 2$。
    • 铅直渐近线：计算$\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{2x^2}{(1 - x)^2}=\infty$，所以有铅直渐近线$x = 1$。
  6. 选取特殊点
    选取$(-1,\dfrac{1}{2})$，$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{9})$，$(0,0)$，$(3,\dfrac{9}{2})$等点，将$x = -1$代入函数得$f(-1)=\dfrac{2\times(-1)^2}{(1 - (-1))^2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$；将$x = 3$代入函数得$f(3)=\dfrac{2\times3^2}{(1 - 3)^2}=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2}$。
  7. 绘制函数图形
    根据以上分析，结合特殊点和渐近线，绘制函数$y = \dfrac{2x^2}{(1 - x)^2}$的图形。