曲线 C 为正向圆周 |z-1|=3，int_(C) (1)/(z^3(z-2)^2) , dz=A. (3)/(8)pi iB. (3)/(4)pi iC. 0D. (1)/(8)pi i

考查要点：本题主要考查复变函数中的留数定理应用，涉及奇点判断、留数计算以及积分路径分析。

解题核心思路：

1. 确定积分路径内的奇点：判断被积函数在圆周$|z-1|=3$内的奇点位置。
2. 计算各奇点的留数：根据奇点的阶数，选择合适的留数公式进行计算。
3. 应用留数定理求积分：将各奇点的留数相加，乘以$2\pi i$得到积分结果。

破题关键点：

• 奇点位置：被积函数的奇点为$z=0$（三阶极点）和$z=2$（二阶极点），均位于积分路径内。
• 留数计算：分别对$z=0$和$z=2$使用极点留数公式，注意导数的正确计算。

步骤1：确定积分路径内的奇点

被积函数$f(z) = \frac{1}{z^3(z-2)^2}$的奇点为：

• $z=0$（三阶极点）：分母$z^3$导致奇点。
• $z=2$（二阶极点）：分母$(z-2)^2$导致奇点。

积分路径为圆周$|z-1|=3$，中心在$z=1$，半径为3。计算奇点到中心的距离：

• $|0-1|=1 < 3$，故$z=0$在圆内。
• $|2-1|=1 < 3$，故$z=2$在圆内。

步骤2：计算各奇点的留数

奇点$z=0$（三阶极点）

根据极点留数公式：
$\text{Res}(f, 0) = \frac{1}{2!} \lim_{z \to 0} \frac{d^2}{dz^2} \left[ \frac{1}{(z-2)^2} \right]$
计算二阶导数：

1. 一阶导数：$\frac{d}{dz} \left( \frac{1}{(z-2)^2} \right) = -\frac{2}{(z-2)^3}$
2. 二阶导数：$\frac{d^2}{dz^2} \left( \frac{1}{(z-2)^2} \right) = \frac{6}{(z-2)^4}$

代入$z=0$：
$\text{Res}(f, 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{(-2)^4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{16} = \frac{3}{16}$

奇点$z=2$（二阶极点）

根据极点留数公式：
$\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ \frac{1}{z^3} \right]$
计算一阶导数：
$\frac{d}{dz} \left( \frac{1}{z^3} \right) = -\frac{3}{z^4}$
代入$z=2$：
$\text{Res}(f, 2) = -\frac{3}{2^4} = -\frac{3}{16}$

步骤3：应用留数定理求积分

留数之和为：
$\text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, 2) = \frac{3}{16} - \frac{3}{16} = 0$
积分结果为：
$\int_{C} \frac{1}{z^3(z-2)^2} \, dz = 2\pi i \cdot 0 = 0$