题目
8.填空题（10分）设平面区域由直线及所围，则_________.
8.填空题（10分）
设平面区域
由直线
及
所围，则
_________.
题目解答
答案
平面区域由直线及;如图所示
解析
步骤 1：确定积分区域
由直线$y=x$及$y={x}^{2}$所围成的区域$D$，可以确定积分的上下限。$y=x$和$y={x}^{2}$的交点为$(0,0)$和$(1,1)$，因此$x$的范围是$[0,1]$，$y$的范围是$[x^2,x]$。
步骤 2：设置二重积分
根据题目要求，需要计算${\iint }_{D}{\int }_{D}^{{x}^{2}ydxdy}$，即计算$\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}x^2ydydx$。
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分$\int_{x^2}^{x}x^2ydy$，将$x^2$视为常数，得到$\int_{x^2}^{x}x^2ydy = x^2\int_{x^2}^{x}ydy = x^2\left[\frac{1}{2}y^2\right]_{x^2}^{x} = x^2\left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^4\right) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^6$。
步骤 4：计算外层积分
将内层积分的结果代入外层积分，得到$\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^6\right)dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^4dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^6dx = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{5}x^5\right]_{0}^{1} - \frac{1}{2}\left[\frac{1}{7}x^7\right]_{0}^{1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{14} = \frac{1}{35}$。
由直线$y=x$及$y={x}^{2}$所围成的区域$D$，可以确定积分的上下限。$y=x$和$y={x}^{2}$的交点为$(0,0)$和$(1,1)$，因此$x$的范围是$[0,1]$，$y$的范围是$[x^2,x]$。
步骤 2：设置二重积分
根据题目要求，需要计算${\iint }_{D}{\int }_{D}^{{x}^{2}ydxdy}$，即计算$\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}x^2ydydx$。
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分$\int_{x^2}^{x}x^2ydy$，将$x^2$视为常数，得到$\int_{x^2}^{x}x^2ydy = x^2\int_{x^2}^{x}ydy = x^2\left[\frac{1}{2}y^2\right]_{x^2}^{x} = x^2\left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^4\right) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^6$。
步骤 4：计算外层积分
将内层积分的结果代入外层积分，得到$\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^6\right)dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^4dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^6dx = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{5}x^5\right]_{0}^{1} - \frac{1}{2}\left[\frac{1}{7}x^7\right]_{0}^{1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{14} = \frac{1}{35}$。