题目
已知两点A(3，1，1+sqrt(2))和B（2，2，1），向量overrightarrow(AB)与x轴、y轴、z轴的夹角依次为α，β，γ，则（ ）A. α=(π)/(3)B. γ=-(π)/(4)C. β=(π)/(6)D. γ=(3π)/(4)
已知两点$A(3，1，1+\sqrt{2})$和B（2，2，1），向量$\overrightarrow{AB}$与x轴、y轴、z轴的夹角依次为α，β，γ，则（ ）
A. α=$\frac{π}{3}$
B. $γ=-\frac{π}{4}$
C. $β=\frac{π}{6}$
D. $γ=\frac{3π}{4}$
题目解答
答案
D. $γ=\frac{3π}{4}$
解析
步骤 1：计算向量$\overrightarrow{AB}$
向量$\overrightarrow{AB}$的坐标为$B$点坐标减去$A$点坐标，即$\overrightarrow{AB} = (2-3, 2-1, 1-(1+\sqrt{2})) = (-1, 1, -\sqrt{2})$。
步骤 2：计算向量$\overrightarrow{AB}$的模
向量$\overrightarrow{AB}$的模为$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$。
步骤 3：计算向量$\overrightarrow{AB}$与x轴、y轴、z轴的夹角
向量$\overrightarrow{AB}$与x轴的夹角α的余弦值为$\cos\alpha = \frac{-1}{2}$，所以$\alpha = \frac{2\pi}{3}$。
向量$\overrightarrow{AB}$与y轴的夹角β的余弦值为$\cos\beta = \frac{1}{2}$，所以$\beta = \frac{\pi}{3}$。
向量$\overrightarrow{AB}$与z轴的夹角γ的余弦值为$\cos\gamma = \frac{-\sqrt{2}}{2}$，所以$\gamma = \frac{3\pi}{4}$。
向量$\overrightarrow{AB}$的坐标为$B$点坐标减去$A$点坐标，即$\overrightarrow{AB} = (2-3, 2-1, 1-(1+\sqrt{2})) = (-1, 1, -\sqrt{2})$。
步骤 2：计算向量$\overrightarrow{AB}$的模
向量$\overrightarrow{AB}$的模为$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$。
步骤 3：计算向量$\overrightarrow{AB}$与x轴、y轴、z轴的夹角
向量$\overrightarrow{AB}$与x轴的夹角α的余弦值为$\cos\alpha = \frac{-1}{2}$，所以$\alpha = \frac{2\pi}{3}$。
向量$\overrightarrow{AB}$与y轴的夹角β的余弦值为$\cos\beta = \frac{1}{2}$，所以$\beta = \frac{\pi}{3}$。
向量$\overrightarrow{AB}$与z轴的夹角γ的余弦值为$\cos\gamma = \frac{-\sqrt{2}}{2}$，所以$\gamma = \frac{3\pi}{4}$。