一、计算题（满分10分）求微分方程y''-y=4xe^x满足初始条件y|_(x=0)=0，y'|_(x=0)=1的特解.

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的解法，包括齐次方程的通解、特解的构造方法以及初始条件的应用。

解题思路：

1. 求齐次方程的通解：通过特征方程法求解对应的齐次方程 $y'' - y = 0$，得到齐次解 $y_c$。
2. 构造特解：根据非齐次项 $4xe^x$ 的形式，结合特征根是否重复，确定特解的形式 $y_p$。
3. 代入方程求解系数：将特解代入原方程，通过比较系数确定特解中的待定系数。
4. 写出通解：将齐次解与特解相加得到通解。
5. 应用初始条件：代入初始条件 $y(0)=0$ 和 $y'(0)=1$，解出通解中的常数 $C_1$ 和 $C_2$。

关键点：

• 特征根的判断：非齐次项中的指数因子 $e^x$ 对应的 $\lambda=1$ 是特征根，需对特解形式进行调整。
• 特解形式的构造：当 $\lambda$ 是单根时，特解形式为 $x(ax + b)e^x$。
• 导数计算的准确性：特解的高阶导数计算需仔细展开，避免符号错误。

1. 求齐次方程的通解

齐次方程为 $y'' - y = 0$，其特征方程为：
$r^2 - 1 = 0 \implies r = \pm 1$
因此，齐次解为：
$y_c = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$

2. 构造特解

非齐次项为 $4xe^x$，其中 $\lambda = 1$ 是特征方程的单根，故特解形式设为：
$y_p = x(ax + b)e^x$

3. 代入方程求解系数

求导：
$\begin{aligned}y_p' &= \left[ax^2 + (2a + b)x + b\right]e^x, \\y_p'' &= \left[ax^2 + (4a + b)x + (2a + 2b)\right]e^x.\end{aligned}$

代入原方程：
$y_p'' - y_p = 4xe^x \implies \left[ax^2 + (4a + b)x + (2a + 2b)\right]e^x - x(ax + b)e^x = 4xe^x$

整理并比较系数：
$\left[4ax + (2a + 2b)\right]e^x = 4xe^x \implies \begin{cases}4a = 4 \implies a = 1, \\2a + 2b = 0 \implies b = -1.\end{cases}$
故特解为：
$y_p = (x^2 - x)e^x$

4. 通解与初始条件

通解为齐次解与特解之和：
$y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + (x^2 - x)e^x$

代入初始条件：

• $y(0) = 0$：
  $C_1 + C_2 = 0$
• $y'(0) = 1$：
  $C_1 - C_2 - 1 = 1 \implies C_1 - C_2 = 2$

解方程组：
$\begin{cases}C_1 + C_2 = 0, \\C_1 - C_2 = 2\end{cases} \implies C_1 = 1, \quad C_2 = -1$