设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 f(x, y)= } ke^-3x-4y, & x > 0, y > 0 0, & 其他 则常数 k =A. 11B. 12C. 13D. 14

本题考查二维随机变量概率密度函数的性质：二维随机变量的概率密度函数在整个平面上的二重积分等于1，即$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$，据此可可求解常数$k$。

步骤1：利用概率密度函数的归一性计算$k$

已知概率密度函数为：
$f(x,y)= \begin{cases} ke^{-3x-4y, & x > 0, y > 0 \\ 0, & 其他 \end{cases}$
（注：原题目中应为$ke^{-3x-4y}$，否则无法计算，此处按指数衰减的常规形式修正）

根据归一性，有：
$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$
由于$f(x,y)$仅在$x>0,y>0$时非零，积分可简化为：
$\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{infty}ke^{-3x-4y}dxdy=1$

分离变量积分

指数函数可分离变量分离：$e^{-3x-4y}=e^{-3x}\cdot e^{-4y}$，故：
$k\int_{0^{infty}e^{-3x}dx\int0^{infty}e^{-4y}dy=1$

计算单个积分

• 对$x$积分：$\int_{0}^{\infty}e^{-3x}dx=\left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_0^{\infty}=-\frac{1}{3}(0-1)=\frac{1}{3}$
• 对$y$积分：$\int_{0}^{\infty}e^{-4y}dy=\left[-\frac{1}{4}e^{-4y}\right]_0^{\infty}=-\frac{1}{4}(0-1)=\frac{1}{4}$

求解$k$

代入得：
$k\cdot\left(\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{4}\right)=1\implies k\cdot\frac{1}{12}=1\ies k=12$