29、(2102)若函数f(x)=}e^(a)/(x)&x0在(-∞,+∞)内处处连续，则常数a的取值范围为（）A. (-∞,0)B. (0,+∞)C. (0,1)D. (1,+∞)

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性条件，涉及极限的计算和等价无穷小的应用。

解题核心思路：

1. 分段点分析：函数在$x=0$处分段，需保证左极限、右极限均等于$f(0)=0$。
2. 左极限处理：当$x \to 0^-$时，分析$e^{\frac{a}{x}}$的极限，需其趋近于$0$，从而确定$a$的范围。
3. 右极限处理：当$x \to 0^+$时，利用等价无穷小$\sin x \sim x$化简$\frac{\sin x}{x^a}$，分析其极限，进一步确定$a$的范围。
4. 综合条件：结合左右极限的条件，得到$a$的取值范围。

破题关键点：

• 左极限趋近于$0$的条件：指数函数$e^{\frac{a}{x}}$在$x \to 0^-$时的极限由$a$的符号决定。
• 右极限趋近于$0$的条件：通过等价无穷小替换简化表达式，分析幂次对极限的影响。

分析$x=0$处的连续性

左极限（$x \to 0^-$）

当$x \to 0^-$时，$x$为负数，$\frac{a}{x}$的符号由$a$决定：

• 若$a > 0$，则$\frac{a}{x} \to -\infty$，故$e^{\frac{a}{x}} \to 0$；
• 若$a \leq 0$，则$e^{\frac{a}{x}}$的极限不为$0$（可能为$+\infty$或$1$）。

因此，左极限为$0$的条件是$a > 0$。

右极限（$x \to 0^+$）

当$x \to 0^+$时，利用等价无穷小$\sin x \sim x$，得：
$\frac{\sin x}{x^a} \sim \frac{x}{x^a} = x^{1-a}.$

• 若$1 - a > 0$（即$a < 1$），则$x^{1-a} \to 0$；
• 若$1 - a = 0$（即$a = 1$），则$x^{1-a} = 1$，极限为$1$；
• 若$1 - a < 0$（即$a > 1$），则$x^{1-a} \to +\infty$。

因此，右极限为$0$的条件是$a < 1$。

综合条件

• 左极限为$0$要求$a > 0$；
• 右极限为$0$要求$a < 1$；
• 函数值$f(0) = 0$。

综上，$a$的取值范围为$0 < a < 1$，对应选项C。