7. (10分) 设随机变量X,Y,Z独立同分布于U(0,1)，求(XY)^Z的分布.

考查要点：本题主要考查独立均匀分布随机变量的乘积、指数分布、伽玛分布以及乘积分布的性质，最终通过变量变换推导目标分布。

解题核心思路：

1. 分解问题：先求$U=XY$的分布，再处理$V=U^Z$的分布。
2. 变量变换：通过取对数将乘积转化为和，简化计算。
3. 分布性质：利用指数分布的和服从伽玛分布，以及独立变量乘积的密度公式推导最终结果。

破题关键点：

• 乘积分布：$XY$的分布需通过积分求得。
• 对数转换：将$V=U^Z$转化为$W=-\ln V$，简化运算。
• 指数分布与伽玛分布：$-\ln X$和$-\ln Y$的和服从伽玛分布。
• 乘积分布公式：独立变量$Z$与伽玛变量的乘积的密度函数计算。

第（1）步：求$U=XY$的分布

1. 概率密度函数：
   $X$和$Y$独立服从$U(0,1)$，则$U=XY$的密度函数为：
   $f_U(u) = \int_{u}^{1} \frac{1}{y} \, dy = -\ln u \quad (0 < u < 1)$

第（2）步：求$V=U^Z$的分布

1. 变量变换：
   令$W = -\ln V = -Z(\ln X + \ln Y)$，则$W$的分布需分析。
2. 分布性质：
   • $-\ln X$和$-\ln Y$服从参数为1的指数分布。
   • 它们的和$T = -\ln X - \ln Y$服从伽玛分布（形状参数2，尺度参数1），密度为：
     $f_T(t) = t e^{-t} \quad (t > 0)$
3. 乘积分布：
   $W = ZT$，其中$Z \sim U(0,1)$，利用乘积密度公式：
   $f_W(w) = \int_{w}^{\infty} e^{-t} \, dt = e^{-w} \quad (w > 0)$
   即$W \sim \text{Exp}(1)$。

第（3）步：求$V$的分布

1. 反变换：
   $V = e^{-W}$，则$V$的密度函数为：
   $f_V(v) = f_W(-\ln v) \cdot \frac{1}{v} = e^{-(-\ln v)} \cdot \frac{1}{v} = 1 \quad (0 < v < 1)$
   因此，$V \sim U(0,1)$。