设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有( )A. k≤3B. kC. k=3D. k>3

考查要点：本题主要考查矩阵特征值的代数重数与几何重数的关系，以及特征向量的线性无关性。

解题核心思路：

• 代数重数（特征值作为根在特征方程中的重复次数）与几何重数（对应特征值的线性无关特征向量的最大个数）的关系是关键。
• 几何重数始终不超过代数重数，但可能小于代数重数，具体取决于矩阵是否可对角化。

破题关键点：

• 题目中λ₀是3重根，即代数重数为3。
• 几何重数k的取值范围为1 ≤ k ≤ 3，因此k必然满足k ≤ 3，但可能小于3。
• 选项需满足“必有”，即无论矩阵是否可对角化，结论均成立。

代数重数与几何重数的关系：

1. 代数重数是特征值在特征方程中的重复次数，本题中λ₀的代数重数为3。
2. 几何重数是对应特征值的线性无关特征向量的最大个数，即解方程$(A - \lambda_0 I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$的基础解系中向量的个数。
3. 几何重数 ≤ 代数重数，但可能小于代数重数。例如：
   • 若矩阵可对角化，则几何重数等于代数重数（k=3）。
   • 若矩阵不可对角化，则几何重数小于代数重数（如k=2或1）。

选项分析：

• A. k ≤ 3：必然成立，因为几何重数不超过代数重数。
• B. k < 3：不一定成立，若矩阵可对角化则k=3。
• C. k = 3：不一定成立，若矩阵不可对角化则k < 3。
• D. k > 3：不可能成立，几何重数不可能超过代数重数。