题目

19 求曲线y=x^2[((1+frac(1)/(x))^x)(e)-1](x>0)的斜渐近线.

19 求曲线$y=x^{2}\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}{e}-1\right](x>0)$的斜渐近线.

题目解答

设 $ y = x^2 \left[ \frac{(1 + \frac{1}{x})^x}{e} - 1 \right] $，求斜渐近线 $ y = ax + b $。

求 $ a $：
$a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} x \left[ \frac{(1 + \frac{1}{x})^x}{e} - 1 \right] = -\frac{1}{2}$
（利用泰勒展开 $ (1 + \frac{1}{x})^x \approx e(1 - \frac{1}{2x} + \frac{11}{24x^2}) $）。
求 $ b $：
$b = \lim_{x \to \infty} (y - ax) = \lim_{x \to \infty} \left[ x^2 \left( \frac{(1 + \frac{1}{x})^x}{e} - 1 \right) + \frac{x}{2} \right] = \frac{11}{24}$

答案：
$\boxed{y = -\frac{1}{2}x + \frac{11}{24}}$

本题考察曲线斜渐近线的求解，解题思路是先根据斜渐近线的定义设出斜渐近线方程，然后分别求出斜渐近线方程中的斜率 $a$ 和截距 $b$。

设曲线 $y = x^{2}\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}{e}-1\right](x > 0)$ 的斜渐近线方程为 $y = ax + b$。
求斜率 $a$：
根据斜率的定义 $a=\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，将 $y = x^{2}\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}{e}-1\right]$ 代入可得：
$a = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}{e}-1\right]}{x}=\lim_{x \to \infty} x \left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}{e}-1\right]$
利用泰勒展开 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\approx e\left(1 - \frac{1}{2x}+\frac{11}{24x^{2}}\right)$，则：
$a=\lim_{x \to \infty} x \left[\frac{e\left(1 - \frac{1}{2x}+\frac{11}{24x^{2}}\right)}{e}-1\right]=\lim_{x \to \infty} x \left(-\frac{1}{2x}+\frac{11}{24x^{2}}\right)=-\frac{1}{2}$
求截距 $b$：
根据截距的定义 $b=\lim_{x \to \infty} (y - ax)$，将 $y = x^{2}\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}{e}-1\right]$ 和 $a = -\frac{1}{2}$ 代入可得：
$b=\lim_{x \to \infty} \left[x^{2}\left(\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}{e}-1\right)-\left(-\frac{1}{2}x\right)\right]=\lim_{x \to \infty} \left[x^{2}\left(\frac{e\left(1 - \frac{1}{2x}+\frac{11}{24x^{2}}\right)}{e}-1\right)+\frac{x}{2}\right]$
$=\lim_{x \to \infty} \left[x^{2}\left(-\frac{1}{2x}+\frac{11}{24x^{2}}\right)+\frac{x}{2}\right]=\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{2}x+\frac{11}{24}x\right)=\frac{11}{24}$