题目

4、 int (dx)/(1+ sqrt (2x))

4、$ \int \frac {dx}{1+ \sqrt {2x}} $

题目解答

答案

要解决积分 $\int \frac{dx}{1+ \sqrt{2x}}$，我们可以使用换元法。设 $u = \sqrt{2x}$。那么，$u^2 = 2x$，对两边关于 $x$ 求导，得到 $2u \frac{du}{dx} = 2$，简化后为 $\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}$ 或 $dx = u \, du$。 将 $u = \sqrt{2x}$ 和 $dx = u \, du$ 代入积分，我们得到： \[ \int \frac{dx}{1+ \sqrt{2x}} = \int \frac{u \, du}{1 + u} \] 接下来，我们需要简化被积函数 $\frac{u}{1+u}$。我们可以使用多项式长除法或重写分子。注意到： \[ \frac{u}{1+u} = \frac{u + 1 - 1}{1+u} = \frac{u+1}{1+u} - \frac{1}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u} \] 因此，积分变为： \[ \int \left(1 - \frac{1}{1+u}\right) du \] 我们可以将这个积分拆分为两个积分： \[ \int 1 \, du - \int \frac{1}{1+u} \, du \] 第一个积分是 $u$，第二个积分是 $\ln|1+u|$。因此，我们有： \[ u - \ln|1+u| + C \] 将 $u = \sqrt{2x}$ 代回，我们得到： \[ \sqrt{2x} - \ln|1 + \sqrt{2x}| + C \] 由于 $1 + \sqrt{2x}$ 对于 $x \geq 0$ 总是正的，我们可以去掉绝对值符号： \[ \sqrt{2x} - \ln(1 + \sqrt{2x}) + C \] 因此，积分的解为： \[ \boxed{\sqrt{2x} - \ln(1 + \sqrt{2x}) + C} \]

解析

考查要点：本题主要考查换元积分法的应用，以及分式函数的积分技巧。
解题思路：通过变量替换简化被积函数，将复杂的分母转化为更易处理的形式。关键在于选择适当的替换变量，并通过代数变形将积分转化为基本积分形式。
破题关键：设 $u = \sqrt{2x}$，通过求导得到 $dx$ 的表达式，将原积分转化为关于 $u$ 的积分，再通过分式拆分简化被积函数。

步骤1：变量替换

设 $u = \sqrt{2x}$，则 $u^2 = 2x$。对两边关于 $x$ 求导得：
$2u \frac{du}{dx} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \quad \Rightarrow \quad dx = u \, du.$

步骤2：代入积分

将 $u$ 和 $dx$ 代入原积分：
$\int \frac{dx}{1+\sqrt{2x}} = \int \frac{u \, du}{1+u}.$

步骤3：分式拆分

将分式 $\frac{u}{1+u}$ 拆分：
$\frac{u}{1+u} = \frac{(u+1)-1}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u}.$

步骤4：积分计算

拆分后积分变为：
$\int \left(1 - \frac{1}{1+u}\right) du = \int 1 \, du - \int \frac{1}{1+u} \, du.$
分别计算：

  1. $\int 1 \, du = u$，
  2. $\int \frac{1}{1+u} \, du = \ln|1+u|$。

步骤5：回代变量

将 $u = \sqrt{2x}$ 代回，结果为：
$\sqrt{2x} - \ln(1+\sqrt{2x}) + C.$