题目
设=z(x,y)是由方程=z(x,y)确定的隐函数，则=z(x,y)=z(x,y)
设
是由方程
确定的隐函数，则
题目解答
答案
由题意得，已知是由方程确定的隐函数，
方程两边对
求导，得到
，
化简后得到
，
将
代入方程得到
的值为
，
将
的值代入到
得到
，因此本题答案选
。
解析
步骤 1：对给定方程求偏导数
给定方程为${x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}-3xyz=0$，对y求偏导数，得到$3{y}^{2}+3{z}^{2}\cdot \dfrac {\partial z}{\partial y}-3x(z+y\cdot \dfrac {\partial z}{\partial y})=0$。
步骤 2：化简偏导数方程
化简得到$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {xz-{x}^{2}}{{x}^{2}-xy}$。
步骤 3：代入x=1，y=0求解
将x=1，y=0代入原方程${x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}-3xyz=0$，得到$1+0+{z}^{3}-0=0$，解得$z=-1$。
步骤 4：代入x=1，y=0，z=-1求$\dfrac {\partial z}{\partial y}$
将x=1，y=0，z=-1代入$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {xz-{x}^{2}}{{x}^{2}-xy}$，得到$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {1\cdot (-1)-1}{{1}^{2}-1\cdot 0}=-1$。
给定方程为${x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}-3xyz=0$，对y求偏导数，得到$3{y}^{2}+3{z}^{2}\cdot \dfrac {\partial z}{\partial y}-3x(z+y\cdot \dfrac {\partial z}{\partial y})=0$。
步骤 2：化简偏导数方程
化简得到$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {xz-{x}^{2}}{{x}^{2}-xy}$。
步骤 3：代入x=1，y=0求解
将x=1，y=0代入原方程${x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}-3xyz=0$，得到$1+0+{z}^{3}-0=0$，解得$z=-1$。
步骤 4：代入x=1，y=0，z=-1求$\dfrac {\partial z}{\partial y}$
将x=1，y=0，z=-1代入$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {xz-{x}^{2}}{{x}^{2}-xy}$，得到$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {1\cdot (-1)-1}{{1}^{2}-1\cdot 0}=-1$。