题目
5.设z_(1)及z_(2)是两复数.求证:(1)|z_(1)-z_(2)|^2=|z_(1)|^2+|z_(2)|^2-2mathrm(Re)(z_(1)overline(z_{2)});(2)|z_(1)-z_(2)|geqslant|z_(1)|-|z_(2)|;(3)|z_(1)+z_(2)|^2+|z_(1)-z_(2)|^2=2(|z_(1)|^2+|z_(2)|^2),并说明其几何意义.<|im_end|>[提示](1)利用公式|z|^2=zoverline(z)；(2)利用(1)；(3)利用(1)及§1例3.
5.设$z_{1}$及$z_{2}$是两复数.求证:
(1)$|z_{1}-z_{2}|^{2}=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-2\mathrm{Re}(z_{1}\overline{z_{2}})$;
(2)$|z_{1}-z_{2}|\geqslant|z_{1}|-|z_{2}|$;
(3)$|z_{1}+z_{2}|^{2}+|z_{1}-z_{2}|^{2}=2(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2})$,并说明其几何意义.
<|im_end|>
[提示](1)利用公式$|z|^{2}=z\overline{z}$；(2)利用(1)；(3)利用(1)及§1例3.
题目解答
答案
(1) 由复数模长公式，得
\[
|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2\mathrm{Re}(z_1 \overline{z_2})
\]
(2) 由(1)式，结合实部性质，得
\[
|z_1 - z_2| \geq ||z_1| - |z_2||
\]
(3) 将(1)式中 $z_2$ 替换为 $-z_2$，相加得
\[
|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)
\]
几何意义：平行四边形对角线平方和等于边长平方和的两倍。
\[
\boxed{
\begin{array}{ccc}
\text{(1) } |z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2\mathrm{Re}(z_1 \overline{z_2}) \\
\text{(2) } |z_1 - z_2| \geq ||z_1| - |z_2|| \\
\text{(3) } |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2) \\
\end{array}
}
\]
几何意义：平行四边形对角线平方和等于边长平方和的两倍。