题目
设随机变量X具有对称的密度函数，即f(x)=f(-x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a >0，P(|X| >a)=（）A. 2[1-F(a)]B. 2F(a)-1C. 2-F(a)D. 1-2F(a)
设随机变量X具有对称的密度函数，即$f(x)=f(-x)$，$F(x)$为X的分布函数，则对任意实数$a >0$，$P{|X| >a}$=$（）
A. $2[1-F(a)]$
B. $2F(a)-1$
C. $2-F(a)$
D. $1-2F(a)$
题目解答
答案
A. $2[1-F(a)]$
解析
步骤 1：利用对称性
由于随机变量X具有对称的密度函数$f(x)=f(-x)$，则有$P(X > a) = P(X < -a)$。这是因为对称性保证了在$a$和$-a$处的概率密度相等，从而导致在大于$a$和小于$-a$的区域内的概率相等。
步骤 2：计算$P(|X| > a)$
根据绝对值的定义，$P(|X| > a)$表示随机变量X的取值在$-a$和$a$之外的概率，即$P(X > a) + P(X < -a)$。由于$P(X > a) = P(X < -a)$，则$P(|X| > a) = 2P(X > a)$。
步骤 3：利用分布函数$F(x)$
分布函数$F(x)$定义为$F(x) = P(X \leq x)$，则$P(X > a) = 1 - F(a)$。将此结果代入步骤2中的表达式，得到$P(|X| > a) = 2[1 - F(a)]$。
由于随机变量X具有对称的密度函数$f(x)=f(-x)$，则有$P(X > a) = P(X < -a)$。这是因为对称性保证了在$a$和$-a$处的概率密度相等，从而导致在大于$a$和小于$-a$的区域内的概率相等。
步骤 2：计算$P(|X| > a)$
根据绝对值的定义，$P(|X| > a)$表示随机变量X的取值在$-a$和$a$之外的概率，即$P(X > a) + P(X < -a)$。由于$P(X > a) = P(X < -a)$，则$P(|X| > a) = 2P(X > a)$。
步骤 3：利用分布函数$F(x)$
分布函数$F(x)$定义为$F(x) = P(X \leq x)$，则$P(X > a) = 1 - F(a)$。将此结果代入步骤2中的表达式，得到$P(|X| > a) = 2[1 - F(a)]$。