题目
[题目]已知随机变量x服从在区间(0,1)上的均匀-|||-分布, =2x+1, 求y的概率密度函数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量Y的取值范围
由于随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，因此Y=2X+1的取值范围为(1,3)。
步骤 2：计算Y的分布函数
对于任意的 $y\in (1,3)$，Y的分布函数 $F_Y(y)$ 可以表示为 $F_Y(y) = P\{Y \leqslant y\} = P\{2X+1 \leqslant y\} = P\{X \leqslant \frac{1}{2}(y-1)\} = F_X(\frac{1}{2}(y-1))$。
步骤 3：计算Y的概率密度函数
由于X在(0,1)上服从均匀分布，其概率密度函数 $f_X(x) = 1$，因此Y的概率密度函数 $f_Y(y)$ 可以表示为 $f_Y(y) = f_X(\frac{1}{2}(y-1)) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，当 $y\in (1,3)$ 时，否则为0。
由于随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，因此Y=2X+1的取值范围为(1,3)。
步骤 2：计算Y的分布函数
对于任意的 $y\in (1,3)$，Y的分布函数 $F_Y(y)$ 可以表示为 $F_Y(y) = P\{Y \leqslant y\} = P\{2X+1 \leqslant y\} = P\{X \leqslant \frac{1}{2}(y-1)\} = F_X(\frac{1}{2}(y-1))$。
步骤 3：计算Y的概率密度函数
由于X在(0,1)上服从均匀分布，其概率密度函数 $f_X(x) = 1$，因此Y的概率密度函数 $f_Y(y)$ 可以表示为 $f_Y(y) = f_X(\frac{1}{2}(y-1)) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，当 $y\in (1,3)$ 时，否则为0。