【题目】已知微分方程 y'+ay=e^x 的一个特解为 y=xe^x ,则a=_____

考查要点：本题主要考查微分方程特解的概念以及待定系数法的应用。需要将已知特解代入微分方程，通过比较系数确定参数的值。

解题核心思路：将特解代入微分方程，计算其导数后代入方程，整理后通过比较等式两边的系数求解参数。

破题关键点：

1. 正确计算特解的导数；
2. 代入微分方程后整理表达式；
3. 通过系数对应关系建立方程。

已知微分方程 $y' + a y = e^x$ 的一个特解为 $y = x e^x$，求 $a$ 的值。

步骤1：计算特解的导数

特解 $y = x e^x$ 的导数为：
$y' = \frac{d}{dx}(x e^x) = e^x + x e^x = e^x (1 + x)$

步骤2：代入微分方程

将 $y$ 和 $y'$ 代入方程 $y' + a y = e^x$：
$e^x (1 + x) + a \cdot x e^x = e^x$

步骤3：整理表达式

提取公共因子 $e^x$：
$e^x \left[ (1 + x) + a x \right] = e^x$
化简括号内项：
$e^x \left[ 1 + x + a x \right] = e^x$
合并同类项：
$e^x \left[ 1 + x(1 + a) \right] = e^x$

步骤4：比较系数

等式两边除以 $e^x$（$e^x \neq 0$）：
$1 + x(1 + a) = 1$
要使等式对所有 $x$ 成立，必须满足：
$\begin{cases}\text{常数项：} & 1 = 1 \\\text{一次项系数：} & 1 + a = 0\end{cases}$
解得：
$$
a = -1

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