19. (10.0分) 解线性方程组}x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)=1 x_(1)+2x_(2)-x_(3)+3x_(4)=2 2x_(1)+3x_(2)+4x_(4)=3。(10分)

为了解线性方程组 \[ \begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 \\ x_{1} + 2x_{2} - x_{3} + 3x_{4} = 2 \\ 2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{4} = 3 \end{cases}, \] 我们将使用高斯消元法。首先，我们写出增广矩阵： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}. \] 我们从消去第一列中的 $x_1$ 项开始。从第二行中减去第一行，从第三行中减去两倍的第一行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}. \] 注意到第三行现在与第二行相同。我们可以从矩阵中消除第三行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}. \] 接下来，我们消去第一行中的 $x_2$ 项。从第一行中减去第二行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}. \] 这个矩阵对应于线性方程组： \[ \begin{cases} x_1 + 3x_3 - x_4 = 0 \\ x_2 - 2x_3 + 2x_4 = 1 \end{cases}. \] 我们可以将 $x_1$ 和 $x_2$ 表示为 $x_3$ 和 $x_4$ 的函数： \[ \begin{cases} x_1 = -3x_3 + x_4 \\ x_2 = 1 + 2x_3 - 2x_4 \end{cases}. \] 由于 $x_3$ 和 $x_4$ 没有约束，我们可以将它们作为自由变量。设 $x_3 = s$ 和 $x_4 = t$。那么方程组的通解为： \[ \begin{cases} x_1 = -3s + t \\ x_2 = 1 + 2s - 2t \\ x_3 = s \\ x_4 = t \end{cases}, \] 其中 $s$ 和 $t$ 是任意实数。以向量形式，解为： \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3s + t \\ 1 + 2s - 2t \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \] 因此，方程组的解为： \[ \boxed{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}, \] 其中 $s$ 和 $t$ 是任意实数。