题目
设A为3阶方阵,其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=( )A. B. 2 C. 3 D. 24
设A为3阶方阵,其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=( )
A.B. 2
C. 3
D. 24
题目解答
答案
[答案]D。
[解析]本题考查了特征值的性质。已知A为3阶方阵,特征值分别为2,1,0,根据性质:
,可得,A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即:4,3,2。再根据性质:若n阶矩阵 A 的特征值为
,则
,可得,|A+2E|=4╳3╳2=24。
[提醒]
;若n阶矩阵 A 的特征值为
,则
。
[点评]本题涉及内容是考试热点,每年必考的,常出现在选择和填空中。热度:☆☆☆☆☆。
[历年考题链接]
(2008,7)18.设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3. 则|A+E|=___________.
答案:24。
(2010,1)9.设矩阵A=
的三个特征值分别为λ1,λ2,λ3,则λ1+λ2+λ3 = ( )
A.4B.5
C.6D.7
答案:B
解析
步骤 1：理解特征值的性质
根据特征值的性质，若λ是矩阵A的特征值，ϕ(λ)是关于λ的多项式，则ϕ(λ)是ϕ(A)的特征值。这里ϕ(λ) = λ + 2，所以A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2，即4,3,2。
步骤 2：计算行列式
根据行列式的性质，若n阶矩阵 A 的特征值为λ1,λ2,···,λn，则λ1λ2·λn=|A|。因此，|A+2E| = 4×3×2 = 24。
根据特征值的性质，若λ是矩阵A的特征值，ϕ(λ)是关于λ的多项式，则ϕ(λ)是ϕ(A)的特征值。这里ϕ(λ) = λ + 2，所以A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2，即4,3,2。
步骤 2：计算行列式
根据行列式的性质，若n阶矩阵 A 的特征值为λ1,λ2,···,λn，则λ1λ2·λn=|A|。因此，|A+2E| = 4×3×2 = 24。