(int )_(0)^dfrac (pi {2)}(e)^2xcos xdx

步骤 1：使用分部积分法
我们使用分部积分法来解决这个问题。分部积分法的公式是：$\int u dv = uv - \int v du$。我们设$u = e^{2x}$，$dv = \cos x dx$，则$du = 2e^{2x} dx$，$v = \sin x$。
步骤 2：应用分部积分法
应用分部积分法，我们得到：${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - 2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\sin xdx$。
步骤 3：再次使用分部积分法
对于$-2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\sin xdx$，我们再次使用分部积分法，设$u = e^{2x}$，$dv = \sin x dx$，则$du = 2e^{2x} dx$，$v = -\cos x$。应用分部积分法，我们得到：$-2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\sin xdx = -2(-{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + 2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx)$。
步骤 4：整理并求解
将步骤2和步骤3的结果整理，我们得到：${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + 2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - 4{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx$。将${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx$移到等式左边，得到：$5{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + 2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}$。计算等式右边的值，得到：$5{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = e^{\pi} - 2$。最后，我们得到：${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = \dfrac {1}{5}e^{\pi} - \dfrac {2}{5}$。