题目
求lim _(xarrow 0)xcos dfrac (1)(x).
求
.
题目解答
答案
无穷小乘以有界变量仍为无穷小，
，则
.
解析
步骤 1：分析题目
题目要求求解$\lim _{x\rightarrow 0}x\cos \dfrac {1}{x}$，这是一个关于$x$趋于$0$时的极限问题。其中，$\cos \dfrac {1}{x}$是一个有界函数，因为$\cos$函数的值域为$[-1,1]$，而$x$是一个趋于$0$的无穷小量。
步骤 2：应用无穷小与有界函数的乘积性质
根据极限理论，无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量。这里，$x$是无穷小量，$\cos \dfrac {1}{x}$是有界函数，因此$x\cos \dfrac {1}{x}$也是无穷小量。
步骤 3：计算极限
由于$x\cos \dfrac {1}{x}$是无穷小量，因此$\lim _{x\rightarrow 0}x\cos \dfrac {1}{x}=0$。
题目要求求解$\lim _{x\rightarrow 0}x\cos \dfrac {1}{x}$，这是一个关于$x$趋于$0$时的极限问题。其中，$\cos \dfrac {1}{x}$是一个有界函数，因为$\cos$函数的值域为$[-1,1]$，而$x$是一个趋于$0$的无穷小量。
步骤 2：应用无穷小与有界函数的乘积性质
根据极限理论，无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量。这里，$x$是无穷小量，$\cos \dfrac {1}{x}$是有界函数，因此$x\cos \dfrac {1}{x}$也是无穷小量。
步骤 3：计算极限
由于$x\cos \dfrac {1}{x}$是无穷小量，因此$\lim _{x\rightarrow 0}x\cos \dfrac {1}{x}=0$。