1 求曲线x^3-xy+y^3=1(xgeqslant 0,ygeqslant 0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

设目标函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$，约束条件 $g(x, y) = x^3 - xy + y^3 - 1 = 0$。
构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda(1 - x^3 + xy - y^3)$，求偏导数并设为零：
$\begin{cases}2x + \lambda(-3x^2 + y) = 0 \\2y + \lambda(x - 3y^2) = 0 \\x^3 - xy + y^3 = 1\end{cases}$
解得 $\lambda \neq 0$，且 $x = y$ 时满足方程，代入约束得 $x = y = 1$，距离为 $\sqrt{2}$。
考虑边界情况：

• $x = 0$ 时，$y = 1$，距离为 $1$；
• $y = 0$ 时，$x = 1$，距离为 $1$。

结论：
最长距离为 $\sqrt{2}$，最短距离为 $1$。

$\boxed{\sqrt{2}, 1}$