题目

练6 (2024·达州)若关于x的方程(3)/(x-2)-(kx-1)/(x-2)=1无解，则k的值为____.

练6 (2024·达州)若关于x的方程$\frac{3}{x-2}-\frac{kx-1}{x-2}=1$无解，则k的值为____.

题目解答

答案

将原方程合并同类项得：
$\frac{4 - kx}{x - 2} = 1$
去分母得：
$4 - kx = x - 2$
整理得：
$6 = (k + 1)x$
情况1： 当 $k + 1 = 0$，即 $k = -1$ 时，方程变为 $0 = 6$，无解。
情况2： 当 $k + 1 \neq 0$ 时，解得 $x = \frac{6}{k + 1}$。令 $x = 2$（使分母为零），解得 $k = 2$。

综上， $k$ 的值为 $\boxed{2 \text{ 或 } -1}$。

解析

本题考查分式方程无解的情况，解题思路是先将分式方程化为整式方程，再分情况讨论整式方程无解以及整式方程的解为增根这两种情况。

  1. 合并同类项：
    已知方程$\frac{3}{x - 2} - \frac{kx - 1}{x - 2} = 1$，根据同分母分式的减法法则$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a - b}{c}$，可得$\frac{3-(kx - 1)}{x - 2} = 1$，去括号得$\frac{3 - kx + 1}{x - 2} = 1$，即$\frac{4 - kx}{x - 2} = 1$。
  2. 去分母化为整式方程：
    方程两边同时乘以$x - 2$（$x\neq2$）去分母得$4 - kx = x - 2$。
  3. 整理整式方程：
    移项可得$4 + 2 = x + kx$，合并同类项得$6 = (k + 1)x$。
  4. 分情况讨论方程无解的情况：
    • 情况一：当$k + 1 = 0$时：
      即$k = -1$，此时方程$6 = (k + 1)x$变为$6 = 0\times x$，也就是$0 = 6$，此等式不成立，方程无解。
    • 情况二：当$k + 1\neq 0$时：
      方程$6 = (k + 1)x$两边同时除以$k + 1$，解得$x = \frac{6}{k + 1}$。
      因为原分式方程无解，所以$x$的值可能使原方程的分母为$0$，即$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
      令$\frac{6}{k + 1} = 2$，方程两边同时乘以$k + 1$得$6 = 2(k + 1)$，去括号得$6 = 2k + 2$，移项得$2k = 6 - 2$，即$2k = 4$，两边同时除以$2$得$k = 2$。