题目
12、单选-|||-内接于半径为R的球的长方体中的体积最大者的体积为 () .-|||-(4分)-|||-A sqrt (2)(R)^3-|||-B dfrac (1)(9sqrt {3)}(R)^3-|||-C dfrac (sqrt {3)}(9)(R)^3-|||-D dfrac (8sqrt {3)}(9)(R)^3
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定长方体的对角线
内接于半径为R的球的长方体，其对角线等于球的直径，即$2R$。
步骤 2：应用长方体体积公式
设长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$，则长方体的体积$V=abc$。根据长方体的对角线公式，有$a^2+b^2+c^2=(2R)^2=4R^2$。
步骤 3：利用均值不等式求最大体积
根据均值不等式，有$\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$，即$\frac{4R^2}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$。当且仅当$a=b=c$时，等号成立，此时长方体体积最大。因此，$a=b=c=\sqrt{\frac{4R^2}{3}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}$，则最大体积$V_{max}=(\frac{2R}{\sqrt{3}})^3=\frac{8\sqrt{3}}{9}R^3$。
内接于半径为R的球的长方体，其对角线等于球的直径，即$2R$。
步骤 2：应用长方体体积公式
设长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$，则长方体的体积$V=abc$。根据长方体的对角线公式，有$a^2+b^2+c^2=(2R)^2=4R^2$。
步骤 3：利用均值不等式求最大体积
根据均值不等式，有$\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$，即$\frac{4R^2}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$。当且仅当$a=b=c$时，等号成立，此时长方体体积最大。因此，$a=b=c=\sqrt{\frac{4R^2}{3}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}$，则最大体积$V_{max}=(\frac{2R}{\sqrt{3}})^3=\frac{8\sqrt{3}}{9}R^3$。