18.（单选题，5.0分）设u(x,y)=x²-y²是调和函数，则其共轭调和函数v(x,y)为（）A. -x²-y²+C(C为常数)B. 2xy+CC. -2xy+CD. x²+y²+C

本题考查调和函数与共轭调和函数的相关知识。解题的关键思路是利用柯西 - 黎曼方程来确定共轭调和函数。

已知$u(x,y)=x^{2}-y^{2}$是调和函数，设其共轭调和函数为$v(x,y)$。根据柯西 - 黎曼方程，对于解析函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，有$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$且$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。

1. 首先求$u(x,y)$的偏导数：
   • 对$u(x,y)=x^{2}-y^{2}$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2}) = 2x$。
   • 对$u(x,y)=x^{2}-y^{2}$关于$y$求偏导数，可得$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y$。
2. 然后根据柯西 - 黎曼方程求$v(x,y)$：
   • 由$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$，即$\frac{\partial v}{\partial y}=2x$。
     • 对$\frac{\partial v}{\partial y}=2x$关于$y$积分，可得$v(x,y)=\int 2xdy = 2xy + g(x)$，其中$g(x)$是关于$x$的待定函数。
   • 再对$v(x,y)=2xy + g(x)$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，可得$\frac{\partial v}{\partial x}=2y + g^\prime(x)$。
   • 又因为$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，即$-2y=-(2y + g^\prime(x))$。
     • 化简$-2y=-(2y + g^\prime(x))$可得：
       • $-2y=-2y - g^\prime(x)$，移项后得到$g^\prime(x)=0$。
     • 对$g^\prime(x)=0$关于$x$积分，可得$g(x)=C$，其中$C$为常数。
   • 所以$v(x,y)=2xy + C$。