题目
设12-|||-11 12 a13-|||-D= 21 a22 a23-|||-a33-|||-a32是一个3阶行列式，12-|||-11 12 a13-|||-D= 21 a22 a23-|||-a33-|||-a32表示元素12-|||-11 12 a13-|||-D= 21 a22 a23-|||-a33-|||-a32的代数余子式,则有（） A12-|||-11 12 a13-|||-D= 21 a22 a23-|||-a33-|||-a32 B12-|||-11 12 a13-|||-D= 21 a22 a23-|||-a33-|||-a32C12-|||-11 12 a13-|||-D= 21 a22 a23-|||-a33-|||-a32D12-|||-11 12 a13-|||-D= 21 a22 a23-|||-a33-|||-a32
设
是一个3阶行列式，
表示元素
的代数余子式,则有（）
A
B
C
D
题目解答
答案
由题设可知是一个3阶行列式，则
A项，
，故A项正确。
B项，根据行列式的展开定理可知
,故B项错误。
C项，根据行列式的展开定理可知
；故C项错误。
D项，根据代数余子式的性质：任一行（列）的元素与另一行（列）的元素的乘积之和为零；可知
，故D项错误。
因此，答案为A。
解析
步骤 1：理解行列式和代数余子式的定义
行列式D是一个3阶行列式，Aij表示元素aij的代数余子式。代数余子式是行列式中去掉第i行第j列后剩余的行列式的值，乘以(-1)^(i+j)。
步骤 2：分析选项A
A项：$2{a}_{ii}{A}_{ii}+{a}_{i2}{A}_{i2}+2{a}_{i3}{A}_{i3}=2D,(i=1,2,3)$
根据行列式的展开定理，行列式D可以表示为第i行元素与其代数余子式的乘积之和，即$D={a}_{i1}{A}_{i1}+{a}_{i2}{A}_{i2}+{a}_{i3}{A}_{i3}$。因此，$2{a}_{ii}{A}_{ii}+{a}_{i2}{A}_{i2}+2{a}_{i3}{A}_{i3}=2({a}_{i1}{A}_{i1}+{a}_{i2}{A}_{i2}+{a}_{i3}{A}_{i3})=2D$。所以A项正确。
步骤 3：分析选项B
B项：${a}_{i1}{A}_{i1}+{a}_{i2}{A}_{i2}+{a}_{i3}{A}_{i3}=D$ (i=1,2)
根据行列式的展开定理，行列式D可以表示为第i行元素与其代数余子式的乘积之和，即$D={a}_{i1}{A}_{i1}+{a}_{i2}{A}_{i2}+{a}_{i3}{A}_{i3}$。所以B项正确。
步骤 4：分析选项C
C项：${a}_{1j}{A}_{1j}+{a}_{2j}{A}_{2j}+{a}_{3j}{A}_{3j}=6D$ $(\hat {j}=2,3)$
根据行列式的展开定理，行列式D可以表示为第j列元素与其代数余子式的乘积之和，即$D={a}_{1j}{A}_{1j}+{a}_{2j}{A}_{2j}+{a}_{3j}{A}_{3j}$。所以C项错误。
步骤 5：分析选项D
D项：${a}_{1j}{A}_{1j}+{a}_{2j}{A}_{2j}+{a}_{3j}{A}_{3j}=0$ $(j=2,3)$
根据代数余子式的性质，任一行（列）的元素与另一行（列）的元素的乘积之和为零。所以D项错误。
行列式D是一个3阶行列式，Aij表示元素aij的代数余子式。代数余子式是行列式中去掉第i行第j列后剩余的行列式的值，乘以(-1)^(i+j)。
步骤 2：分析选项A
A项：$2{a}_{ii}{A}_{ii}+{a}_{i2}{A}_{i2}+2{a}_{i3}{A}_{i3}=2D,(i=1,2,3)$
根据行列式的展开定理，行列式D可以表示为第i行元素与其代数余子式的乘积之和，即$D={a}_{i1}{A}_{i1}+{a}_{i2}{A}_{i2}+{a}_{i3}{A}_{i3}$。因此，$2{a}_{ii}{A}_{ii}+{a}_{i2}{A}_{i2}+2{a}_{i3}{A}_{i3}=2({a}_{i1}{A}_{i1}+{a}_{i2}{A}_{i2}+{a}_{i3}{A}_{i3})=2D$。所以A项正确。
步骤 3：分析选项B
B项：${a}_{i1}{A}_{i1}+{a}_{i2}{A}_{i2}+{a}_{i3}{A}_{i3}=D$ (i=1,2)
根据行列式的展开定理，行列式D可以表示为第i行元素与其代数余子式的乘积之和，即$D={a}_{i1}{A}_{i1}+{a}_{i2}{A}_{i2}+{a}_{i3}{A}_{i3}$。所以B项正确。
步骤 4：分析选项C
C项：${a}_{1j}{A}_{1j}+{a}_{2j}{A}_{2j}+{a}_{3j}{A}_{3j}=6D$ $(\hat {j}=2,3)$
根据行列式的展开定理，行列式D可以表示为第j列元素与其代数余子式的乘积之和，即$D={a}_{1j}{A}_{1j}+{a}_{2j}{A}_{2j}+{a}_{3j}{A}_{3j}$。所以C项错误。
步骤 5：分析选项D
D项：${a}_{1j}{A}_{1j}+{a}_{2j}{A}_{2j}+{a}_{3j}{A}_{3j}=0$ $(j=2,3)$
根据代数余子式的性质，任一行（列）的元素与另一行（列）的元素的乘积之和为零。所以D项错误。