[题目]函数 =ln (x+sqrt ({y)^2+(z)^2}) 在点A(1,0,1)处沿点A-|||-指向点 B(3,-2,2) 方向的方向导数为 __

考查要点：本题主要考查方向导数的计算，涉及梯度向量与单位方向向量的点积的应用。

解题核心思路：

1. 计算偏导数：分别求出函数在点A处的三个偏导数$\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial u}{\partial y}$、$\dfrac{\partial u}{\partial z}$。
2. 确定方向向量：由点A指向点B的向量$\overrightarrow{AB}$，并单位化得到单位向量$\overrightarrow{n}$。
3. 代入方向导数公式：将偏导数与单位向量的分量相乘后求和。

破题关键点：

• 正确计算偏导数，注意链式法则的应用。
• 方向向量的单位化，避免模长计算错误。
• 代数运算的准确性，尤其是分数的加减乘除。

1. 计算偏导数

函数$u = \ln(x + \sqrt{y^2 + z^2})$，在点$A(1,0,1)$处：

$\dfrac{\partial u}{\partial x}$

$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{1}{x + \sqrt{y^2 + z^2}} \cdot 1 = \dfrac{1}{x + \sqrt{y^2 + z^2}}$
代入$A(1,0,1)$：
$\dfrac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{(1,0,1)} = \dfrac{1}{1 + \sqrt{0^2 + 1^2}} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial y}$

$\dfrac{\partial u}{\partial y} = \dfrac{1}{x + \sqrt{y^2 + z^2}} \cdot \dfrac{y}{\sqrt{y^2 + z^2}}$
代入$A(1,0,1)$，$y=0$，故：
$\dfrac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{(1,0,1)} = 0$

$\dfrac{\partial u}{\partial z}$

$\dfrac{\partial u}{\partial z} = \dfrac{1}{x + \sqrt{y^2 + z^2}} \cdot \dfrac{z}{\sqrt{y^2 + z^2}}$
代入$A(1,0,1)$：
$\dfrac{\partial u}{\partial z}\bigg|_{(1,0,1)} = \dfrac{1}{1 + 1} \cdot \dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{2}$

2. 确定方向向量并单位化

向量$\overrightarrow{AB} = (3-1, -2-0, 2-1) = (2, -2, 1)$，模长为：
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$
单位向量$\overrightarrow{n} = \dfrac{1}{3}(2, -2, 1) = \left( \dfrac{2}{3}, -\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3} \right)$。

3. 计算方向导数

方向导数公式：
$\dfrac{\partial u}{\partial n} = \dfrac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha + \dfrac{\partial u}{\partial y} \cos \beta + \dfrac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma$
代入数据：
$\dfrac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{(1,0,1)} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} + 0 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$