17.设随机变量(X,Y)的分布律为-|||--1 0 1-|||-Y-|||--1 1/8 1/8 1/8-|||-1/8 0 1/8-|||-1 1/8 1/8 1/8-|||-验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.

本题主要考察随机变量的不相关性与相互独立性的判断，核心知识点包括期望计算、协方差（相关系数）性质以及独立性的定义。

步骤1：判断X和Y是否相互独立

随机变量相互独立的充要条件是：对所有可能的$x_i,y_j$，有$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$。
观察题目中的联合分布律，表中存在零元素（如原表格中部分位置为$118$，应为输入错误，实际应为$1/8$，修正后仍有$P(X=-1,Y=-1)=\frac{1}{8}$，而$P(X=-1)=\frac{3}{8}$，$P(Y=-1)=\frac{3}{8}$，则$P(X=-1)P(Y=-1)=\frac{3}{8}\times\frac{3}{8}=\frac{9}{64}\neq\frac{1}{8}=\frac{8}{64}$），故X与Y不独立。

步骤2：计算X、Y、XY的分布律及期望

X的分布律

$X=-1$对应联合分布中$Y=-1,0,1$的概率之和：$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$
$X=0$对应概率：$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$?（原答案为$\frac{2}{8}$，可能输入错误，实际根据对称性应为$\frac{2}{8}$，不影响$E(X)=0$）
$X=1$同理：$\frac{3}{8}$
故$E(X)=(-1)\times\frac{3}{8}+0\times\frac{2}{8}+1\times\frac{3}{8}=0$。

Y的分布律

与X对称，$P(Y=-1)=\frac{3}{8}$，$P(Y=0)=\frac{2}{8}$，$P(Y=1)=\frac{3}{8}$
故$E(Y)=(-1)\times\frac{3}{8}+0\times\frac{2}{8}+1\times\frac{3}{8}=0$。

XY的分布律

$XY=-1$对应$(X=-1,Y=1)$和$(X=1,Y=-1)$：$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{2}{8}$
$XY=0$对应$X=0$或$Y=0$：$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}$
$XY=1$对应$(X=-1,Y=-1)$和$(X=1,Y=1)$：$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{2}{8}$
故$E(XY)=(-1)\times\frac{2}{8}+0\times\frac{4}{8}+1\times\frac{2}{8}=0$。

步骤3：判断X和Y是否不相关

不相关的充要条件是$E(XY)=E(X)E(Y)$。
此处$E(XY)=0=E(X)E(Y)=0\times0$，故X与Y不相关。