题目
在自变量的同一变化过程中,若f(x)是无穷大量,则(1)/(f(x))是无穷小量。A. 对B. 错
在自变量的同一变化过程中,若f(x)是无穷大量,则$\frac{1}{f(x)}$是无穷小量。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
考查要点:本题主要考查无穷大量与无穷小量之间的关系,以及它们在自变量同一变化过程中的相互转化规律。
解题核心思路:
根据数学分析中的基本定理,若函数$f(x)$在某一变化过程中为无穷大量,则其倒数$\frac{1}{f(x)}$必为无穷小量。关键在于理解无穷大的定义(绝对值无限增大)与无穷小的定义(绝对值无限趋近于0),并明确两者之间的倒数关系。
破题关键点:
- 无穷大的定义:当$f(x)$的绝对值可以无限增大时,称其为无穷大量。
- 倒数的性质:若$f(x)$的绝对值无限增大,则$\frac{1}{|f(x)|}$必然无限趋近于0。
- 符号不影响结论:无论$f(x)$是正无穷还是负无穷,其倒数的绝对值均趋近于0,因此$\frac{1}{f(x)}$必为无穷小量。
基本定理回顾:
若$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$(或$x \to \infty$时$f(x) \to \infty$),则$\lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = 0$(或$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{f(x)} = 0$)。
具体分析:
- 无穷大的定义:
根据题意,$f(x)$是无穷大量,即对于任意给定的正数$M$,存在对应的$\delta$(或$X$),使得当$x$满足一定条件时,$|f(x)| > M$。 - 倒数的绝对值分析:
若$|f(x)| > M$,则$\frac{1}{|f(x)|} < \frac{1}{M}$。当$M$无限增大时,$\frac{1}{M}$无限趋近于0,因此$\frac{1}{|f(x)|}$也无限趋近于0。 - 符号不影响结论:
无论$f(x)$为正还是负,$\frac{1}{f(x)}$的绝对值均趋近于0,因此$\frac{1}{f(x)}$是无穷小量。
结论:
题目中的命题成立,正确答案为A. 对。